Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một theo yêu cầu.

### a) Tính giá trị biểu thức B biết \( x = 3 \)

Biểu thức \( B \) được định nghĩa là:

\[
B = \frac{x + 1}{x - 2}
\]

Thay \( x = 3 \) vào biểu thức \( B \):

\[
B = \frac{3 + 1}{3 - 2} = \frac{4}{1} = 4
\]

Vậy, giá trị của biểu thức \( B \) khi \( x = 3 \) là \( 4 \).

### b) Chứng minh: \( A = \frac{x}{x - 2} \)

Biểu thức \( A \) được định nghĩa là:

\[
A = \frac{x - 2}{x + 2} + \frac{6x - 4}{x^2 - 4}
\]

Đầu tiên, ta thấy rằng \( x^2 - 4 \) có thể được phân tích thành \( (x - 2)(x + 2) \).

Ta viết lại biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{x-2}{x+2} + \frac{6x-4}{(x-2)(x+2)}
\]

Để cộng hai phân số này, chúng ta cần quy đồng mẫu số:

\[
A = \frac{(x-2)^2 + (6x - 4)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Tính toán tử số:

\[
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
\]

Thay vào trong \( A \):

\[
(x - 2)^2 + (6x - 4) = x^2 - 4x + 4 + 6x - 4 = x^2 + 2x
\]

Vậy,

\[
A = \frac{x^2 + 2x}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Rút gọn \( x^2 + 2x \):

\[
x^2 + 2x = x(x + 2)
\]

Do đó,

\[
A = \frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Rút gọn phân số:

\[
A = \frac{x}{x - 2}
\]

### c) Tìm \( x \) nguyên để biểu thức \( P = A + B \) đạt giá trị nguyên

Biểu thức tổng \( P \):

\[
P = A + B = \frac{x}{x - 2} + \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{x + (x + 1)}{x - 2} = \frac{2x + 1}{x - 2}
\]

Để \( P \) là số nguyên, mẫu số \( (x - 2) \) phải khác 0 (tức là \( x \neq 2 \)) và \( 2x + 1 \) phải chia hết cho \( x - 2 \).

Xét \( P \):

\[
P = 2 + \frac{5}{x - 2}
\]

Để \( P \) là số nguyên, \( \frac{5}{x - 2} \) cũng phải là số nguyên, nghĩa là \( x - 2 \) phải là ước của 5. Các ước của 5 là: \( \pm 1, \pm 5 \).

Giải cho \( x - 2 = 1 \) và \( x - 2 = -1 \):

1. \( x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \)
2. \( x - 2 = -1 \Rightarrow x = 1 \)
3. \( x - 2 = 5 \Rightarrow x = 7 \)
4. \( x - 2 = -5 \Rightarrow x = -3 \)

Vậy, các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) là số nguyên là \( x = 3, 1, 7, -3 \).