Chúng ta sẽ giải các phần của bài toán như sau:

### a) Tính giá trị biểu thức \( P = \frac{2}{\sqrt{2}-1} + \sqrt{2} - \sqrt{18} \)

1. **Rút gọn \(\frac{2}{\sqrt{2}-1}\)**:
Cách tốt nhất là nhân tử số và mẫu với \(\sqrt{2}+1\):
\[
\frac{2(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2(\sqrt{2}+1)}{2-1} = 2(\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2} + 2
\]

2. **Tính tổng**:
\[
P = (2\sqrt{2} + 2) + \sqrt{2} - \sqrt{18}
\]
Biết rằng \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\):
\[
P = 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2 + (2\sqrt{2} + \sqrt{2} - 3\sqrt{2}) = 2 + 0 = 2
\]

### b) Giải phương trình \( 2x^3 = (x+2)(x+3) \)

1. Phương trình trở thành:
\[
2x^3 = x^2 + 5x + 6 \rightarrow 2x^3 - x^2 - 5x - 6 = 0
\]

2. Thử giá trị \( x = 2 \):
\[
2(2)^3 - (2)^2 - 5(2) - 6 = 16 - 4 - 10 - 6 = -4 \quad (không phải nghiệm)
\]

Thử giá trị \( x = -3 \):
\[
2(-3)^3 - (-3)^2 - 5(-3) - 6 = 2(-27) - 9 + 15 - 6 = -54 - 9 + 15 - 6 = -54 \quad (không phải nghiệm)
\]

Tiếp tục kiểm tra hoặc sử dụng định lý Viète hoặc phương pháp phân tích để giải.

### c) Giải hệ phương trình
\[
\begin{cases}
2x - y = 3 \\
x + y = 3
\end{cases}
\]

1. Từ phương trình thứ hai, suy ra \( y = 3 - x \).
2. Thay vào phương trình đầu:
\[
2x - (3 - x) = 3 \rightarrow 3x - 3 = 3 \rightarrow 3x = 6 \rightarrow x = 2
\]
3. Thay vào \( y = 3 - 2 = 1 \).

Vậy nghiệm là \( (x, y) = (2, 1) \).

### d) Cho biểu thức
\[
M = \left( \frac{1}{\sqrt{x}-1} \right) \left( \frac{3\sqrt{x}-3}{x+\sqrt{x}} \right)
\]

1. **Rút gọn**:
\[
M = \frac{3\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x})}
\]

2. **Điều kiện**: \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \).

3. **Tìm \( x \) để \( M \) có giá trị nguyên**:

Cần phân tích và thử giá trị cho \( x \) trong miền cho phép xem xét.

Hy vọng thông tin này hữu ích! Nếu cần giải chi tiết thêm, hãy cho tôi biết.