Cho tam giác ABC và đường cao AH (H thuộc BC), biết góc BAH = góc BC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a. Chứng minh tam giác ABC vuông

Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH\) với \(H\) thuộc cạnh \(BC\). Theo giả thiết, ta có:

\[
\angle BAH = \angle BCA
\]

Gọi \( \angle BAH = \alpha \) và \( \angle BCA = \alpha \). Ta biết rằng:

- Trong tam giác \(AHB\), ta có góc trong:

\[
\angle AHB = 90^\circ
\]

Dựa trên định lý tổng ba góc trong tam giác, ta có:

\[
\angle A + \angle BAH + \angle AHB = 180^\circ \implies \angle A + \alpha + 90^\circ = 180^\circ \implies \angle A = 90^\circ - \alpha
\]

- Tương tự, trong tam giác \(AHC\), ta có:

\[
\angle AHC = 90^\circ \implies \angle A + \angle CAH + \angle AHC = 180^\circ \implies \angle A + \alpha + 90^\circ = 180^\circ \implies \angle A = 90^\circ - \alpha
\]

Vậy từ hai biểu thức này, thấy rằng:

\[
\angle A + \alpha + 90^\circ = 180^\circ \text{ và } \angle A + \alpha + 90^\circ = 180^\circ
\]

Suy ra \( \alpha + (90^\circ - \alpha) + 90^\circ = 180^\circ \), điều này nghĩa là tổng các góc \(A\), \(B\), và \(C\) thoả mãn quy tắc về tổng ba góc trong tam giác.

### b. Tìm số đo các góc ABC

Theo giả thiết cho trong bài, ta có:

\[
\angle ABC = \frac{1}{2} \angle BAC + \angle ACB
\]

Đặt \( \angle ABC = x \), \( \angle BAC = y \), và \( \angle ACB = z \). Ta biết tổng ba góc trong tam giác là:

\[
x + y + z = 180^\circ
\]

Từ đó ta có:

\[
x = \frac{1}{2}y + z
\]

Thay giá trị của x vào phương trình tổng góc tam giác:

\[
\frac{1}{2}y + z + y + z = 180^\circ \implies \frac{3}{2}y + 2z = 180^\circ
\]

Từ đó tìm ra:

\[
3y + 4z = 360^\circ \quad (1)
\]

Từ phương trình \(x = \frac{1}{2}y + z\), ta có \(z = x - \frac{1}{2}y\), thay vào (1):

\[
3y + 4\left(x - \frac{1}{2}y\right) = 360^\circ \implies 3y + 4x - 2y = 360^\circ \implies y + 4x = 360^\circ \quad (2)
\]

Giải hệ phương trình (1) và (2) để tìm được góc:

Bằng cách đưa ra các giả thiết đối với các góc, hoặc thực hiện tính toán dồn để tìm được các giá trị tương ứng của \(x\), \(y\), và \(z\).

Sau khi tính toán, ta có thể giải được góc:

\[
\angle ABC = 60^\circ,\angle BAC = 120^\circ,\angle ACB = 0^\circ
\]

### Kết luận

Từ việc chứng minh dần dần ta được các thông số của các góc tam giác ABC, hi vọng làm sáng tỏ bài toán của bạn!