Cho đường tròn(O;R), đường kính AB. Từ A kẻ tiếp tuyến Ax. Lấy điểm M trên Ax (M khác A). Từ M dựng tiếp tuyến thứ hai đến đường tròn, cắt đường tròn tại N. Chứng minh 4 điểm A,M,N,O cùng thuộc đường tròn

Để chứng minh rằng bốn điểm \( A, M, N, O \) cùng thuộc một đường tròn, ta xây dựng các yếu tố và thuộc tính cần thiết như sau:

1. **Đường tròn và các điểm:**
- Cho đường tròn \( (O; R) \) với tâm \( O \) và đường kính \( AB \).
- Điểm \( A \) là một trong hai đầu của đường kính, điểm \( B \) là đầu còn lại.

2. **Tiếp tuyến tại \( A \):**
- Tiếp tuyến \( Ax \) tại điểm \( A \) có phương pháp được dựng bằng cách vẽ một đường thẳng vuông góc với đoạn \( OA \).

3. **Điểm \( M \):**
- Lấy điểm \( M \) nằm trên tiếp tuyến \( Ax \) (và chắc chắn \( M \neq A \)).

4. **Dựng tiếp tuyến từ \( M \):**
- Từ điểm \( M \), chúng ta dựng tiếp tuyến thứ hai đến đường tròn tại điểm \( N \) (điểm giao của tiếp tuyến thứ hai với đường tròn).

5. **Chứng minh rằng bốn điểm \( A, M, N, O \) cùng thuộc một đường tròn:**
- Sử dụng một số tính chất của hình học:
- Đầu tiên, điểm \( O \) là tâm của đường tròn \( (O;R) \) và tọa độ của \( O \) nằm tại trung điểm của đoạn \( AB \).
- Vì tiếp tuyến tại điểm tiếp giáp với một đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm đó, ta thấy \( OA \perp Ax \).
- Do đó, tam giác \( OAN \) sẽ có góc vuông tại \( A \).

6. **Áp dụng định lý đường tròn:**
- Từ tính chất góc của tam giác \( OAN \) (góc \( OAN = 90^\circ \)), ta thấy:
\[
\angle OAN + \angle ONM = 180^\circ
\]
- Khi đó, do \( OM \) là tiếp tuyến và \( N \) là điểm tiếp giáp, ta có \( ON \perp OM \).
- Suy ra hai điểm \( O, N, A, M \) có thể nằm trên cùng một đường tròn, do đó \( \angle OAN = \angle OMN \) cho thấy rằng bốn điểm này tạo thành một đường tròn.

7. **Kết luận:**
- Do đó, bốn điểm \( A, M, N, O \) cùng thuộc một đường tròn, điều này chứng minh được yêu cầu của bài toán.

Vậy ta đã chứng minh thành công rằng các điểm \( A, M, N, O \) nằm trên một đường tròn.