Để chứng minh bài toán đã cho, ta sẽ thực hiện theo hai phần như yêu cầu.

### 1) Chứng minh các tam giác bằng nhau:
Ta có hình vuông \(ABCD\), với \(M\) là điểm tùy ý trên cạnh \(DC\). Khi kẻ đường vuông góc từ \(M\) đến \(AB\) tại \(H\) và từ \(H\) cắt \(BC\) tại \(K\).

- **Tam giác \( \triangle ADM \)** và \( \triangle AHI \)**:
- Chúng ta có \(AD = AH\) (cạnh của hình vuông).
- \( \angle DAM = \angle AHI = 90°\) (do hai đường vuông góc).
- \( DI = IM\) (cùng nằm trên chiều dài đoạn thẳng \(DC\)).

Vậy, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có:
\[
\triangle ADM \cong \triangle AHI
\]

- **Tam giác \( \triangle ABK \)** và \( \triangle AHK \)**:
- Cả hai tam giác có cạnh \(AK\) chung.
- \( \angle ABK = \angle AHK\), vì cùng là góc vuông từ \(H\) xuống \(BC\).
- \(BK = HK\) vì các đoạn này đều nằm trên đường thẳng \(BC\).

Do đó, từ tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC), ta kết luận:
\[
\triangle ABK \cong \triangle AHK
\]

### 2) Chứng minh \( \angle IAK = 45° \):
- Từ hình vuông, ta có:
- \( \angle AIB = 90°\) (góc vuông trong hình vuông).
- \(\triangle AHI\) và \(\triangle IAK\) là các tam giác vuông, từ đó dẫn đến việc phân chia góc \( \angle AIB\) vào hai tam giác.

Do đó, có \( \angle IAK + \angle AHI = 90°\). Vì \( \triangle AHI\) là một tam giác vuông (từ điểm \(H\) đi đến đường \(AB\)), ta suy ra được:
\[
\angle IAK = 45°
\]

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh xong rằng:
1) \( \triangle ADM = \triangle AHI\) và \( \triangle ABK = \triangle AHK\)
2) \( \angle IAK = 45°\) như bài toán yêu cầu.