Để tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình:

\[
x^2 - (m + 3)x + (4m - 4) = 0
\]

có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \), ta cần kiểm tra điều kiện của denta:

\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]

Lập denta cho phương trình:

- \( a = 1 \)
- \( b = -(m + 3) \)
- \( c = (4m - 4) \)

Ta có:

\[
\Delta = (-(m + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4m - 4) = (m + 3)^2 - 16m + 16
\]

Khai triển:

\[
\Delta = m^2 + 6m + 9 - 16m + 16 = m^2 - 10m + 25
\]

Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần:

\[
\Delta > 0 \implies m^2 - 10m + 25 > 0
\]

Giải bất phương trình này. Ta nhận thấy đây là một biểu thức hoàn hảo:

\[
(m - 5)^2 > 0
\]

Điều này đúng với mọi giá trị của \( m \) ngoại trừ \( m = 5 \). Vậy điều kiện đầu tiên là:

\[
m \neq 5
\]

Tiếp theo, chúng ta cần điều kiện nữa từ phương trình nghiệm:

\[
\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 20
\]

Sử dụng công thức liên hệ giữa nghiệm:

\[
x_1 + x_2 = m + 3
\]
\[
x_1 x_2 = 4m - 4
\]

Áp dụng định lý Viète, ta có:

\[
\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 20
\]

Ta đặt \( \sqrt{x_1} = a \) và \( \sqrt{x_2} = b \), với \( a + b = 20 \) và \( ab = x_1 x_2 = \text{(chưa tính chính xác)} \).

Từ đó, \( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) cho ta:

\[
400 = x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1x_2}
\]

Thay vào \( m + 3 \):

\[
400 = m + 3 + 2\sqrt{4m - 4}
\]

Giải phương trình này để tìm \( m \).