Để giải bài toán trên, ta thực hiện từng phần một.

### a) Giải phương trình:
\[
\sqrt{x - 3} - \sqrt{4x - 12} + \sqrt{9x - 27} - \sqrt{16x - 48} = -6
\]

**Bước 1: Đơn giản hóa các căn.**
- Ta có:
- \(\sqrt{4x - 12} = \sqrt{4(x - 3)} = 2\sqrt{x - 3}\)
- \(\sqrt{9x - 27} = \sqrt{9(x - 3)} = 3\sqrt{x - 3}\)
- \(\sqrt{16x - 48} = \sqrt{16(x - 3)} = 4\sqrt{x - 3}\)

Thay vào phương trình:
\[
\sqrt{x - 3} - 2\sqrt{x - 3} + 3\sqrt{x - 3} - 4\sqrt{x - 3} = -6
\]
Kết hợp các hạng tử lại:
\[
(1 - 2 + 3 - 4)\sqrt{x - 3} = -6
\]
\[
-2\sqrt{x - 3} = -6
\]
Chia hai vế cho -2:
\[
\sqrt{x - 3} = 3
\]

**Bước 2: Bình phương hai vế:**
\[
x - 3 = 9
\]
\[
x = 12
\]

### b) Chứng minh bất đẳng thức:
\[
(a + 1)^2 \geq 4a + 1 \quad \text{với } a \geq 2
\]

**Bước 1: Kết hợp hạng tử.**
Phát triển bên trái:
\[
(a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1
\]

Vậy bất đẳng thức trở thành:
\[
a^2 + 2a + 1 \geq 4a + 1
\]
Giảm bớt 1 ở cả hai vế:
\[
a^2 + 2a \geq 4a
\]
Chuyển hạng tử:
\[
a^2 - 2a \geq 0
\]
Yếu tố hóa:
\[
a(a - 2) \geq 0
\]

**Bước 2: Phân tích dấu:**
- Phương trình có nghiệm tại \(a = 0\) và \(a = 2\).
- Xét trên các khoảng:
- \(a < 0\) : không thỏa mãn \(a \geq 2\)
- \(0 < a < 2\): không thỏa mãn \(a \geq 2\)
- \(a > 2\): thỏa mãn bất đẳng thức

Với \(a \geq 2\), bất đẳng thức này luôn đúng.

### Kết luận:
- Phương trình có nghiệm \(x = 12\).
- Bất đẳng thức được chứng minh với mọi \(a \geq 2\).