Tính \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4x} - 2x - 1}{x^2} \)

Để tính giới hạn \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4x} - 2x - 1}{x^2} \), trước tiên ta có thể thay \( x \) bằng 0 vào biểu thức ở phần tử phía trên:

\[
\sqrt{4 \cdot 0} - 2 \cdot 0 - 1 = 0 - 0 - 1 = -1.
\]

Vậy, phần tử trên là \(-1\).

Tuy nhiên, phần tử dưới là \(x^2\) cũng sẽ đi đến 0 khi \(x\) đi đến 0. Do đó, đây là dạng \(\frac{-1}{0}\) nên cần phân tích thêm.

Để giải quyết, ta sẽ áp dụng phép biến đổi bằng cách sử dụng khai triển hoặc quy tắc L'Hôpital. Trước tiên, ta sẽ viết lại biểu thức:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4x} - 2x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4x} - 1 - 2x}{x^2}.
\]

Tiếp theo, chúng ta có thể nhân và chia cho \(\sqrt{4x} + 1\) để khai triển phần tử:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{4x} - 1)(\sqrt{4x} + 1)}{x^2(\sqrt{4x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{4x - 1}{x^2(\sqrt{4x} + 1)}.
\]

Bây giờ tính giới hạn:

1. Khi \( x \to 0 \):
- Tử số trở thành \(4 \cdot 0 - 1 = -1\).
- Mẫu số trở thành \(0^2(\sqrt{0} + 1) = 0\).

Như vậy, cả tử và mẫu đều có giới hạn sinh thành 0, ta áp dụng quy tắc L'Hôpital:

Điện tích đạo hàm tử và mẫu:

- Đạo hàm tử:

\[
\frac{d}{dx}(4x - 1) = 4.
\]

- Đạo hàm mẫu:

\[
\frac{d}{dx}(x^2(\sqrt{4x} + 1)) = (2x)(\sqrt{4x} + 1) + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4x}} \cdot 4 = 2x(\sqrt{4x} + 1) + 2x = 2x\sqrt{4x} + 4x.
\]

Khi áp dụng L'Hôpital:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{4}{2x\sqrt{4x} + 4x}.
\]

Khi \(x \to 0\), phần tử mẫu trở thành \(0\), do đó lại là dạng \(\frac{4}{0}\).

Tiếp tục áp dụng L'Hôpital lần nữa sẽ cho biểu thức mà dòng trên trở thành hạn chế, và cuối cùng cho ra giới hạn xác định.

Khi \(x \to 0\):

\[
\lim_{x \to 0} \frac{4}{4x} = 1.
\]

Vậy:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4x} - 2x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}.
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4x} - 2x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}.
\]