Chúng ta sẽ chứng minh các yêu cầu trong đề bài:

### a) Chứng minh tứ giác MDHE là hình chữ nhật.

1. **Thiết lập tọa độ**:
- Giả sử M là điểm gốc tọa độ, tức là M(0,0).
- Nằm trên trục hoành (Ox), giả sử N(a, 0).
- Nằm trên trục tung (Oy), giả sử P(0, b).
- Do đó, tam giác MNP vuông tại M với MN song song với trục hoành và MP song song với trục tung.

2. **Tọa độ H**:
- H là điểm trên đoạn MP, là đường cao từ M xuống cạnh NP, nên H có tọa độ (0, h) với \( 0 < h < b \).

3. **Tính tọa độ D và E**:
- **D**: Chân đường vuông góc hạ từ H xuống MN, vì MN là đường thẳng y = 0, do đó D có tọa độ (0, 0), tức là D trùng với M.
- **E**: Chân đường vuông góc hạ từ H xuống MP. Đường thẳng MP có phương trình x = 0 khách với đường thẳng thì E có tọa độ (0, h).

4. **Chứng minh MDHE là hình chữ nhật**:
- Để tứ giác MDHE là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh 2 điều kiện:
- **MD // HE** và **MH // DE**.
- MD = 0 (vì D trùng với M) và HE // Ox (vì H và E đều nằm trên phương trình y = h, tức là cùng cao độ).
- Tại điểm M, MH vuông góc với DE (vì D và E là chân đường vuông góc).
- Do đó MD // HE và MH // DE, từ đó suy ra tứ giác MDHE là hình chữ nhật.

### b) Gọi A là trung điểm của HP. Chứng minh tam giác DEA vuông.

1. **Tính tọa độ A**:
- A là trung điểm của đoạn HP.
- Tọa độ H là (0, h) và tọa độ P là (0, b) nên tọa độ A sẽ là:
\[
A \left(0, \frac{h+b}{2}\right)
\]

2. **So sánh các đoạn thẳng**:
- Đoạn thẳng DE nằm trên y = h và D nằm tại (0,0), E(0,h). Do đó DE có độ dài là \( h - 0 = h \).
- Đoạn thẳng EA nằm trên y = \frac{h+b}{2}, nên độ dài EA bằng:
\[
EA = \left| h - \frac{h+b}{2} \right| = \left| \frac{2h - h - b}{2} \right| = \left| \frac{h - b}{2} \right|
\]
- Đoạn thẳng AD cũng lớn bằng:
\[
AD = \left| 0 - \frac{h+b}{2} \right| = \frac{h+b}{2}
\]

3. **Chứng minh tam giác DEA vuông**:
- Ta cần chứng minh DE vuông góc với EA.
- DE: Được xác định bởi độ cao h và D, E nằm trên y = h.
- EA: có chiều cao từ E hạ xuống (góc vuông với DE).
- Từ tính chất đường cao và cạnh, tam giác DEA vuông tại E.

**Kết luận**: Tam giác DEA vuông là đúng.

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh thành công 2 yêu cầu trên.