Để tìm số nguyên dương \( n \) nhỏ nhất sao cho \( n + 1 \), \( 2n + 1 \), và \( 5n + 1 \) đều là số chính phương, ta sẽ thiết lập bài toán theo các bước sau:

1. Đặt \( n + 1 = a^2 \) cho một số nguyên dương \( a \). Từ đó ta có \( n = a^2 - 1 \).

2. Thay vào biểu thức thứ hai:
\[
2n + 1 = 2(a^2 - 1) + 1 = 2a^2 - 2 + 1 = 2a^2 - 1
\]
Đặt \( 2a^2 - 1 = b^2 \) cho một số nguyên dương \( b \). Vậy ta có:
\[
2a^2 - b^2 = 1 \tag{1}
\]

3. Thay vào biểu thức thứ ba:
\[
5n + 1 = 5(a^2 - 1) + 1 = 5a^2 - 5 + 1 = 5a^2 - 4
\]
Đặt \( 5a^2 - 4 = c^2 \) cho một số nguyên dương \( c \). Vậy ta có:
\[
5a^2 - c^2 = 4 \tag{2}
\]

Bây giờ, ta cần giải hệ phương trình (1) và (2). Và ta sẽ bắt đầu với phương trình (1):

### Giải phương trình (1):

Phương trình (1) có dạng giống phương trình Pell:
\[
2a^2 - b^2 = 1.
\]
Có thể giải bằng cách thử nghiệm các giá trị \( a \):

- Nếu \( a = 1 \):
\[
2(1)^2 - b^2 = 1 \implies b^2 = 1 \implies b = 1.
\]

- Nếu \( a = 2 \):
\[
2(2)^2 - b^2 = 1 \implies 8 - b^2 = 1 \implies b^2 = 7 \quad \text{(không phải số chính phương)}.
\]

- Nếu \( a = 3 \):
\[
2(3)^2 - b^2 = 1 \implies 18 - b^2 = 1 \implies b^2 = 17 \quad \text{(không phải số chính phương)}.
\]

- Nếu \( a = 4 \):
\[
2(4)^2 - b^2 = 1 \implies 32 - b^2 = 1 \implies b^2 = 31 \quad \text{(không phải số chính phương)}.
\]

- Nếu \( a = 5 \):
\[
2(5)^2 - b^2 = 1 \implies 50 - b^2 = 1 \implies b^2 = 49 \implies b = 7.
\]

Có \( (a, b) = (5, 7) \).

### Giải phương trình (2) với \( a = 5 \) và \( b = 7 \):

Giờ ta thế vào phương trình (2):
\[
5(5)^2 - c^2 = 4 \implies 125 - c^2 = 4 \implies c^2 = 121 \implies c = 11.
\]

Cuối cùng, ta đã tìm được giá trị \( a = 5 \), \( b = 7 \), \( c = 11 \).

### Tính giá trị \( n \):
Bây giờ ta tính \( n \):
\[
n = a^2 - 1 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24.
\]

### Kiểm tra:
- \( n + 1 = 24 + 1 = 25 = 5^2 \) (số chính phương).
- \( 2n + 1 = 2(24) + 1 = 48 + 1 = 49 = 7^2 \) (số chính phương).
- \( 5n + 1 = 5(24) + 1 = 120 + 1 = 121 = 11^2 \) (số chính phương).

Vậy số nguyên dương \( n \) nhỏ nhất sao cho \( n + 1 \), \( 2n + 1 \), và \( 5n + 1 \) đều là số chính phương là:

\[
\boxed{24}.
\]