Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần yêu cầu:

### a) Chứng minh MB = NC = PD = QA.

Trong hình vuông ABCD, các cạnh đều có độ dài bằng nhau và là chiều dài của cạnh hình vuông. Ta có:
- AM = m
- BN = m
- CP = m
- DQ = m

Do đó, chiều dài của các đoạn MB, NC, PD và QA được tính như sau:
- MB = AB - AM = a - m
- NC = BC - BN = a - m
- PD = CD - CP = a - m
- QA = DA - DQ = a - m

Vì AM = BN = CP = DQ = m nên ta suy ra:
\[ MB = NC = PD = QA = a - m\]

### b) Chứng minh ΔQAM = ΔNCP.

Ta sẽ sử dụng các cặp cạnh và góc để chứng minh hai tam giác này bằng nhau:
- AM = CP = m (theo giả thiết).
- AQ = NC (vì QA = NC).
- Góc AQM = Góc NCP (cùng bằng 90 độ).

Vậy từ điều kiện cạnh và góc, ta có:
\[ ΔQAM ≅ ΔNCP\, (căn cứ vào cạnh-cạnh-cạnh) \]

### c) Chứng minh MNPQ là hình vuông.

Để chứng minh MNPQ là hình vuông, ta cần chứng minh rằng:
1. MN = NP = PQ = QM.
2. Các góc tại các đỉnh M, N, P, Q đều bằng 90 độ.

Từ các chứng minh trên, ta đã có MN = NP = PQ = QM (do chúng đều bằng m).
Góc tại M và N là góc vuông do các đoạn thẳng thẳng đứng với nhau (góc 90 độ giữa các cạnh hình vuông).

Vì vậy, với 4 cạnh bằng nhau và 4 góc vuông, ta kết luận rằng MNPQ là hình vuông.

Tóm lại, các yêu cầu của bài toán đã được chứng minh hoàn toàn.