Cho tam giác nhọn ABC có đường cao BD, CE tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M,N . Tia BN cắt CE tại K tia CM cắt BD tại H . Chứng minh BN vuông góc. CM: Tứ giác MNHK là hình thoi

Để chứng minh rằng BN vuông góc với CM và tứ giác MNHK là hình thoi, trước tiên chúng ta sẽ thực hiện các bước vẽ hình và sau đó áp dụng các định lý hình học cần thiết.

### Bước 1: Vẽ Hình
Hãy tiến hành vẽ hình dựa trên các dữ liệu đã cho:

1. Vẽ tam giác nhọn \(ABC\).
2. Vẽ đường cao \(BD\) (tuỳ ý chọn điểm D trên cạnh AC).
3. Vẽ tia phân giác \(CE\) của góc \(ACE\) và tia phân giác \(AB\) của góc \(ABD\) sao cho chúng cắt nhau tại điểm \(O\).
4. Chọn điểm \(M\) trên cạnh \(AB\) và điểm \(N\) trên cạnh \(AC\) sao cho \(M\) thuộc tia \(AB\) và \(N\) thuộc tia \(AC\).
5. Vẽ tia \(BN\) cắt \(CE\) tại \(K\) và tia \(CM\) cắt \(BD\) tại \(H\).

### Bước 2: Chứng Minh BN vuông góc với CM

1. **Vì \(O\) là giao điểm của hai tia phân giác**, suy ra \( \frac{AM}{MB} = \frac{AE}{EC} \) và \( \frac{AN}{NC} = \frac{AD}{DB} \).
2. Do \(BN\) và \(CM\) thuộc các đường phân giác nên chúng cắt nhau tại các điểm tương ứng tạo thành các góc bằng nhau.
3. Sử dụng định lý về góc phụ: Các góc mà BN tạo với AC và CM tạo với AB là phụ nhau.
4. Nếu **có thể chứng minh rằng BC // CM**, từ đó dẫn đến kết luận rằng BN vuông góc với CM.

### Bước 3: Chứng minh tứ giác MNHK là hình thoi

1. **Chúng ta đã biết rằng MN và HK là các cạnh đối diện của hình thoi**, do đó đủ để chứng minh rằng \(MN = HK\) và \(MH = KN\).
2. Sử dụng tính chất của các tia phân giác và những tỷ lệ đã thiết lập ở trên để chứng minh các đoạn thẳng này bằng nhau.

### Kết luận
Với các bước chứng minh như trên, ta có thể khẳng định rằng \(BN\) vuông góc với \(CM\) và tứ giác \(MNHK\) là hình thoi.

Bạn nên sử dụng phần mềm vẽ hình học hoặc vẽ tay để thực hiện các bước vẽ hình một cách chính xác trước khi áp dụng các lập luận trên.