Để giải bài toán này, ta thực hiện theo từng phần:

### a) Tính số đo góc C

Trong tam giác vuông \(\triangle ABC\) tại A, có:

\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]
Với \(\angle A = 90^\circ\) và \(\angle B = 57^\circ\), ta có:

\[
90^\circ + 57^\circ + \angle C = 180^\circ
\]
Tính \(\angle C\):

\[
\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ
\]

### b) Chứng minh \(\triangle ABD = \triangle EBD\) và \(DE \perp BC\)

1. **Chứng minh \(\triangle ABD \cong \triangle EBD\)**:

- Góc \( \angle ABD = \angle EBD \) (chúng đều bằng nhé \( \angle B = 57^\circ\)).
- Cạnh \( AB = BE \) (theo đề bài).
- Cạnh \( BD \) chung.

Do đó, theo quy tắc cạnh-góc-cạnh (C.G.C), ta có:

\[
\triangle ABD \cong \triangle EBD
\]

2. **Chứng minh \(DE \perp BC\)**:

Từ \(\triangle ABD \cong \triangle EBD\), suy ra:

\[
\angle ADB = \angle EDB
\]

Trong tam giác vuông, tổng ba góc bằng \(180^\circ\), nên:

\[
\angle ADB + \angle EDB + \angle B = 180^\circ
\]

Với \(\angle B = 57^\circ\), ta có:

\[
\angle ADB + \angle EDB = 123^\circ
\]

Từ đó, suy ra \(\angle ADB = \angle EDB\) và chúng đều là \(\angle CDB\), vậy suy ra \(DE \perp BC\).

### c) Chứng minh ba điểm \(I, D, E\) thẳng hàng

1. Đặt điểm \(I\) là điểm giữa của đoạn \(AB\), tức là \(AI = IB\).

2. Xét tam giác \(\triangle ABE\):

Theo tính chất các góc và tỷ lệ, ta có:

\[
AI = EC \text{ (điều kiện đề bài)}
\]

Do đó, để chứng minh \(I, D, E\) thẳng hàng, ta nhận thấy rằng \(D\) và \(E\) đều nằm trên đường tiểu động \(\frac{AI}{AB} = \frac{EC}{CB}\) trường hợp đẳng cấu.

3. Vậy nếu \(AI = EC\) thì chắc chắn I, D, E nằm trên một đường thẳng.

Kết luận, ba điểm \(I, D, E\) thẳng hàng.