Để giải các yêu cầu của bạn, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần.

### Tìm x trong phương trình:
\[ x(2x + 1) - 4x^2 + 1 = 0 \]

Đầu tiên, ta sẽ phát triển phương trình:
\[
x(2x + 1) = 2x^2 + x
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
2x^2 + x - 4x^2 + 1 = 0
\]
Rút gọn lại, ta có:
\[
-2x^2 + x + 1 = 0
\]
Và chuyển đổi thành dạng chuẩn:
\[
2x^2 - x - 1 = 0
\]

Tiếp theo, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -1\):
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}
\]
\[
= \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}
\]
\[
= \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}
\]
\[
= \frac{1 \pm 3}{4}
\]
Ta có hai nghiệm:
\[
x_1 = \frac{4}{4} = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{1}{2}
\]

### Chứng minh đẳng thức:
\[ (x+y+z)^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 2(xy + xz + yz) \]

Bắt đầu bằng cách phát triển vế trái:
\[
(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)
\]
Do đó,
\[
(x + y + z)^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 2(xy + xz + yz)
\]
Ta thấy rằng vế trái chính xác là vế phải, tức là ta đã chứng minh xong đẳng thức này.

### Kết luận
- Các nghiệm của phương trình \(x(2x + 1) - 4x^2 + 1 = 0\) là \(x = 1\) và \(x = -\frac{1}{2}\).
- Đẳng thức \((x+y+z)^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 2(xy + xz + yz)\) đã được chứng minh.