Cho hình chóp S.ABCD. M là trung điểm AD. Gọi (α) và (β) là mặt phẳng đi qua M và lần lượt song song với (SBD) và (SAC). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α)

Để giải bài toán này, chúng ta cần bắt đầu từ việc nhận diện các điểm và các mặt phẳng liên quan đến hình chóp S.ABCD và các mặt phẳng (α) và (β).

### a. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α)

Mặt phẳng (α) đi qua M (trung điểm của AD) và song song với mặt phẳng (SBD). Vì (SBD) là mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, D, nên mặt phẳng (α) sẽ không cắt cạnh SC và SB. Mặt phẳng này cắt cạnh AB và CD của hình chóp, cũng như cắt các cạnh của hình chóp để tạo ra một tam giác do cắt cạnh AC và BD.

Khi vẽ các giao điểm:
- Gọi N là giao điểm của (α) với AC.
- Gọi P là giao điểm của (α) với BD.

Ít nhất có hai điểm giao nhau (N, P) và M (điểm đã cho) nằm trên mặt phẳng (α). Tuy nhiên, vì mặt phẳng này song song với (SBD), nên điểm M không phụ thuộc vào S.

Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) sẽ là một tam giác MNP.

### b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (β)

Tương tự như trên, mặt phẳng (β) đi qua M và song song với mặt phẳng (SAC). Do đó, mặt phẳng (β) cũng sẽ không cắt cạnh SC và SA.

Gọi:
- Q là giao điểm của (β) với AC.
- R là giao điểm của (β) với BD.

Như vậy, thiết diện mà mặt phẳng (β) cắt hình chóp sẽ cũng là một tam giác MQR.

### c. Chứng minh rằng tứ giác OHMK là hình bình hành

Ta có H và K lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (α) và (β) với AC và BD.

Để chứng minh OHMK là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện có độ dài bằng nhau và song song. Dễ dàng nhận thấy rằng:
- M là trung điểm của AD, nên các đoạn AM và MD bằng nhau.
- Mặt phẳng (β) song song với (SAC) cũng đã định nghĩa vị trí của H và K.

Do đó, những kết luận cơ bản từ mật độ tổng hợp các đoạn đối diện:
- OH // MK (do (α) song song với (SBD)).
- OM = KH (do tính chất trung điểm).

Từ đó, ta đi đến kết luận rằng tứ giác OHMK là hình bình hành.

### Tổng kết
- Thiết diện của mặt phẳng (α): tam giác MNP
- Thiết diện của mặt phẳng (β): tam giác MQR
- Tứ giác OHMK là hình bình hành.