Để chứng minh tứ giác \(ADNM\) là hình bình hành và tứ giác \(AMCN\) là hình thoi, ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh tứ giác \(ADNM\) là hình bình hành

Trong hình bình hành \(ABCD\), chúng ta có:
- \(AD \parallel BC\) và \(AB \parallel CD\).
- \(AD \perp AC\).

Gọi \(M\) là điểm trùng với \(AB\) và \(N\) là điểm trùng với \(CD\).

Ta có 2 cặp cạnh đối diện:
1. Cạnh \(AD\) và cạnh \(MN\).
2. Cạnh \(AN\) và cạnh \(DM\).

**Chứng minh cạnh đối diện bằng nhau:**
- Xét cạnh \(AM\) và cạnh \(DN\):
- Vì \(M\) nằm trên \(AB\) và \(N\) nằm trên \(CD\), ta có \(AM = DN\), do \(ABCD\) là hình bình hành.

- Xét cạnh \(AD\) và cạnh \(MN\):
- Cạnh \(AD\) là cạnh của hình bình hành \(ABCD\) và do \(M\) và \(N\) đều nằm trên các đường thẳng song song với nhau lần lượt là \(AB\) và \(CD\), nên \(AD \parallel MN\) và \(AD = MN\).

Bây giờ ta có:
- \(AD = MN\) và \(AM = DN\) (có chiều dài bằng nhau).

**Chứng minh rằng \(ADNM\) là tứ giác đối diện hai cặp cạnh bằng nhau:**
- Có \(AD \parallel MN\) và \(AM \parallel DN\).

Từ các yếu tố trên, theo định nghĩa, tứ giác \(ADNM\) là hình bình hành.

### b) Chứng minh tứ giác \(AMCN\) là hình thoi

Để chứng minh tứ giác \(AMCN\) là hình thoi, ta cần chứng minh rằng tất cả bốn cạnh của tứ giác này đều bằng nhau.

- Xét các cạnh \(AM\), \(MC\), \(CN\), và \(AN\):

Ta đã biết từ hình bình hành \(ABCD\):
- Từ \(A\) đến \(M\) thuộc cạnh \(AB\), nên \(AM = AB\).
- Từ \(M\) đến \(C\), \(MC\) là cạnh song song với \(AD\) và bằng \(AD\).
- Từ \(C\) đến \(N\) thuộc cạnh \(CD\), cũng có \(CN = CD\).
- Từ \(A\) đến \(N\) cũng có \(AN = AB\).

Do đó:
- Từ công thức trên \(AM = CN\) và \(MC = AN\), trong đó \(AB = AD = CD = BC\) do là cạnh của hình bình hành.

Bây giờ ta sẽ thống nhất chứng minh:
- \(AM = MC\) và \(CN = AN\) theo tính chất của hình bình hành. Mà \(AB = AD\) và \(MN\) là cận kề với \(AB\) và \(CD\).

Do đó:
- \(AM = CN\) và \(MC = AN\) đều bằng nhau.

Cuối cùng, ta có:
- Tất cả các cạnh của tứ giác \(AMCN\) đều bằng nhau, do đó \(AMCN\) là hình thoi.

Kết luận, \(ADNM\) là hình bình hành và \(AMCN\) là hình thoi.