Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm dối xứng với M qua D

Xét tam giác vuông ABC tại A, trong đó M là trung điểm của cạnh BC, D là trung điểm của cạnh AB, và E là điểm đối xứng với M qua D. Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết các phần của bài toán.

### a) Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm M qua AB.
Để chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm M qua AB, chúng ta cần chứng minh rằng độ dài AE = AM và rằng điểm E nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại D.

- Giả sử D là trung điểm của AB, nghĩa là AD = DB.
- Xét điểm M, điểm này là trung điểm của BC, tức là BM = MC.
- Bởi vì E là điểm đối xứng của M qua D, ta có đoạn DE = DM.

Vì A và B nằm trên đường thẳng AB, khi ta chiếu M qua D ta sẽ có E, cũng nằm trên đường thẳng AB, do đó ta có AE = AM và angle ADE = angle ADM.

Như vậy, E là điểm đối xứng của M qua đường thẳng AB.

### b) Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì? Vì sao?
**Tứ giác AEMC:**
- Với AEMC, chúng ta có AE = AM (theo sự đối xứng), và MC = MB.
- Điểm M là trung điểm cạnh BC.
- Do đó, tứ giác AEMC có hai cạnh đối diện AE và CM bằng nhau và cạnh AD // MC, tức là tứ giác này là hình bình hành.

**Tứ giác AEBM:**
- Tứ giác AEBM cũng có AE = AM, AB = AB và AD // EM (do M là trung điểm).
- Vì AE = AM và AB cũng là 1 cạnh, nên tứ giác này có hai cạnh đối diện bằng nhau, và nó cũng có cạnh AB là 1 cạnh, do đó, tứ giác này cũng là hình bình hành.

### c) Cho BC = 4cm, tính chu vi tứ giác AEBM.
Để tính chu vi của tứ giác AEBM, ta cần biết độ dài của các cạnh.

- Gọi AB = c, AC = b, BC = 4cm (theo giả thiết).
- Trong tam giác vuông ABC, theo định lý Pitago, ta có: \(AB^2 + AC^2 = BC^2\) \(\Rightarrow c^2 + b^2 = 16\).

Chu vi của tứ giác AEBM được tính bằng:

\[ P = AE + EB + BM + AM \]

- Vì M là trung điểm của BC nên \(BM = \frac{BC}{2} = 2cm\).
- Nếu DE = DM; AE = AM, thì độ dài của AE = AM = 2cm (do D is mid point of AB).

Vậy ta có:

\[ P = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 cm\]

### d) Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì AEBM là hình vuông?
Tứ giác AEBM sẽ là hình vuông khi:

- Chúng ta cần xác định rằng các cạnh AE, AB, BM, AM đều bằng nhau và các góc đều bằng 90 độ.

Do đó, điều kiện với các cạnh bằng nhau là:

- \(AB = AM\) và các góc tạo thành tại các đỉnh của tứ giác đều là góc vuông (90 độ).

Như đã biết, trong tam giác vuông ABC, khi AB = AC thì tứ giác AEBM sẽ trở thành hình vuông.

Tóm lại, tứ giác AEBM sẽ là hình vuông khi tam giác vuông ABC có cạnh AB = AC.