Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác BDEM là hình thang

1. **Cách tiếp cận:** Xem xét biết rằng \( AD = DE = EC \).
2. **Xét các cạnh:**
- Ta có \( DE \) nằm giữa \( AD \) và \( EC \), và mỗi cặp đoạn \( AD \) và \( EC \) đều bằng nhau.
- Dựa vào tính chất của trung tuyến \( AM \), ta có \( BD \) cắt \( AM \) tại \( I \).
3. **Kết luận:** Do đó, tứ giác \( BDEM \) có hai cạnh bên \( BM \) và \( DE \) song song, nên \( BDEM \) là hình thang.

### b) Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( AM \)

1. **Xét tỉ lệ đoạn:**
- Vì \( AD = DE = EC \), suy ra \( I \) chia \( AM \) thành hai đoạn bằng nhau.
2. **Kết luận:** Do đó, \( I \) là trung điểm của \( AM \).

### c) Chứng minh \( BI = 3DI \)

1. **Sử dụng tính chất tỉ lệ:**
- Sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng từ \( B \) đến \( I \) và từ \( D \) đến \( I \) với các thông tin đã có.
2. **Áp dụng phép dời hình:**
- Sử dụng định lý hoặc tỉ lệ trong tam giác (có thể áp dụng định lý Menelaus nếu cần).

### d) Chứng minh \( ME, AP, DQ \) đồng quy tại một điểm

1. **Sử dụng định lý đồng quy**:
- Xét các đường thẳng \( ME \), \( AP \), và \( DQ \) nằm trên các đoạn thẳng \( CB \).
- Áp dụng định lý Ceva cho các điểm \( P, Q \) sao cho \( CP = PQ = CM \).
2. **Kết luận:**
- Các điểm này sẽ đồng quy tại một điểm, dựa vào tỉ lệ và đặc điểm hình học của tứ giác và tam giác.

Sau khi thực hiện các bước chứng minh theo logic và tính chất hình học trên, bạn có thể đưa ra các chứng minh chi tiết hơn cho mỗi phần theo yêu cầu đề bài!