Để tìm các số tự nhiên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình \( 5^x + 8 = y^2 \), ta có thể phân tích như sau:

1. **Xét trường hợp \( x = 0 \)**:
\[
5^0 + 8 = 1 + 8 = 9 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad y = 3
\]
Ta có một cặp nghiệm: \( (x, y) = (0, 3) \).

2. **Xét trường hợp \( x = 1 \)**:
\[
5^1 + 8 = 5 + 8 = 13 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 13 \, \text{(không phải là số chính phương)}
\]

3. **Xét trường hợp \( x = 2 \)**:
\[
5^2 + 8 = 25 + 8 = 33 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 33 \, \text{(không phải là số chính phương)}
\]

4. **Xét trường hợp \( x = 3 \)**:
\[
5^3 + 8 = 125 + 8 = 133 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 133 \, \text{(không phải là số chính phương)}
\]

5. **Xét trường hợp \( x = 4 \)**:
\[
5^4 + 8 = 625 + 8 = 633 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 633 \, \text{(không phải là số chính phương)}
\]

6. **Đối với \( x \geq 5 \)**, \( 5^x \) sẽ trở nên rất lớn. Điều này khiến cho \( 5^x + 8 \) khó có thể trở thành một số chính phương.

Tóm lại, từ các trường hợp xét trên, nghiệm duy nhất tìm được là \( (x, y) = (0, 3) \).

Ngoài ra, việc kiểm tra thêm cho các giá trị lớn hơn \( x \) giúp khẳng định rằng không có cặp nghiệm tự nhiên nào khác thỏa mãn phương trình.

Kết luận: Các số tự nhiên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình trên là \( (x, y) = (0, 3) \).