Để xác định kim loại kiềm R trong hỗn hợp X, ta cần phân tích các phản ứng xảy ra trong từng phần của hỗn hợp và sử dụng thể tích khí sinh ra để tính toán.

1. **Tính toán thể tích khí sinh ra:**

- **Phần 1:**
Khi cho kim loại vào nước, khí H₂ được sinh ra. Với điều kiện tiêu chuẩn (đkc), 1 mol khí H₂ chiếm 22,4 lít.
- Thể tích khí sinh ra: \( 7,437 \, lít \)
- Số mol khí sinh ra:
\[
n_{H_2} = \frac{7,437}{22,4} \approx 0,331 \, mol
\]
- Chỉ số mol của kim loại kiềm R có thể là 1 (do phản ứng với nước) thì số mol kim loại R tham gia phản ứng sẽ là \( n_R = 0,331 \).

- **Phần 2:**
Khi cho kim loại vào Ba(OH)₂, các kim loại như R and Al sẽ phản ứng tạo khí H₂.
- Thể tích khí sinh ra: \( 13,01475 \, lít \)
- Số mol khí sinh ra:
\[
n_{H_2} = \frac{13,01475}{22,4} \approx 0,581 \, mol
\]
- Số mol kim loại tham gia vào phản ứng này là \( n_R + n_{Al} \).

- **Phần 3:**
Khi cho kim loại vào H₂SO₄, chỉ có kim loại R và Al tham gia phản ứng tạo khí:
- Thể tích khí sinh ra: \( 16,73325 \, lít \)
- Số mol khí sinh ra:
\[
n_{H_2} = \frac{16,73325}{22,4} \approx 0,747 \, mol
\]
- Số mol kim loại tham gia vào phản ứng này là \( n_R + n_{Al} \).

2. **Thiết lập hệ phương trình:**
Giả sử m gam cho mỗi phần trong hỗn hợp là:
\[
m = \frac{52,65}{3} \approx 17,55 \, gam
\]

- Từ phần 1: \( n_R = 0,331 \)
- Từ phần 2: \( n_R + n_{Al} = 0,581 \)
- Từ phần 3: \( n_R + n_{Al} = 0,747 \)

3. **Giải hệ:**
\[
n_{Al} (từ eq2) = 0,581 - n_R = 0,581 - 0,331 = 0,25
\]
\[
m_{Al} = n_{Al} \cdot M_{Al} = n_{Al} \cdot 27 \text{ g/mol}
\]
\[
m_{Al} \approx 0,25 \cdot 27 \approx 6,75 \text{ g}
\]

\[
n_{Mg} (từ eq3) = 0,747 - n_R = 0,747 - 0,331 = 0,416
\]
\[
m_{Mg} = n_{Mg} \cdot M_{Mg} = n_{Mg} \cdot 24 \text{ g/mol}
\]
\[
m_{Mg} \approx 0,416 \cdot 24 \approx 10 \text{ g}
\]

Tiếp theo, ta cộng lại các khối lượng:
\[
m_{R} + m_{Al} + m_{Mg} = 52,65
\]

4. **Tính khối lượng của R:**
\[
m_{R} = 52,65 - (6,75 + 10) = 52,65 - 16,75 = 35,9 \text{ g}
\]
Giả sử \( n_{R} = 0,331 \):
\[
M_R = \frac{m_{R}}{n_{R}} = \frac{35,9}{0,331} \approx 108,9 \text{ g/mol}
\]

So với các kim loại kiềm thì \( R = \text{Na} \) (M = 23), nhưng với giá trị này, nó không thể là kim loại kiềm.

Vì vậy, dựa trên các số liệu, ta có thể kết luận rằng R có thể là K (M = 39) với M nhỏ hơn 39.

Kết luận cuối cùng là kim loại kiềm R là potassium (K).