Để tìm điều kiện xác định (ĐKXD) và rút gọn biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+3}} - \frac{5}{x+\sqrt{x-6}} - \frac{1}{\sqrt{x-2}}
\]

### Bước 1: Tìm ĐKXD

1. **Tham số trong căn**:
- \( \sqrt{x+2} \): \( x + 2 \geq 0 \) → \( x \geq -2 \)
- \( \sqrt{x+3} \): \( x + 3 \geq 0 \) → \( x \geq -3 \)
- \( \sqrt{x-6} \): \( x - 6 \geq 0 \) → \( x \geq 6 \)
- \( \sqrt{x-2} \): \( x - 2 \geq 0 \) → \( x \geq 2 \)

2. **Tham số trong mẫu**:
- Mẫu \( \sqrt{x+3} \): không bằng 0, tức là \( x \neq -3 \).
- Mẫu \( x + \sqrt{x-6} \): cần đảm bảo \( x + \sqrt{x-6} \neq 0 \).
- Với \( x \geq 6 \), \( \sqrt{x-6} \geq 0 \), do đó hàm này không bằng 0.
- Mẫu \( \sqrt{x-2} \): không bằng 0, tức là \( x \neq 2 \).

### Kết luận ĐKXD:
Từ các điều kiện trên, ta có:
- \( x \geq 6 \)

### Bước 2: Rút gọn biểu thức

Ta sẽ tiến hành rút gọn từng phần của A:

1. **Giá trị đầu tiên**:
- \( \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+3}} \)

2. **Giá trị thứ hai**:
- \( - \frac{5}{x + \sqrt{x-6}} \)

3. **Giá trị thứ ba**:
- \( - \frac{1}{\sqrt{x-2}} \)

Khi \( x \geq 6 \), ta có thể tính giá trị của từng phần và rút gọn. Tuy nhiên, để thực hiện việc rút gọn tốt nhất, ta có thể đưa tất cả các phần về cùng một mẫu chung.

### Các bước rút gọn:
Tìm mẫu chung và đưa tất cả các phần trên:

\[
A = \frac{\sqrt{x+2} (x + \sqrt{x-6}) \sqrt{x-2} - 5 \sqrt{x+2} \sqrt{x-2} - \sqrt{x+3} (x + \sqrt{x-6})}{\sqrt{x+3} (x + \sqrt{x-6}) \sqrt{x-2}}
\]

### Kết thúc
Vì đây là một bài toán mang tính chất phức tạp, việc rút gọn chính xác có thể cần sử dụng thêm các biến thể và quy tắc đại số. Khi có cần can thiệp tính toán, bạn có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm để hỗ trợ.