Để chứng tỏ rằng \( a \) và \( b \) là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần kiểm tra ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) của \( a \) và \( b \).

Cho \( a = 6n + 3 \) và \( b = 3n + 1 \) với \( n \in \mathbb{N} \).

**Bước 1: Phân tích \( a \) và \( b \)**

- **Với \( a \)**:
\[
a = 6n + 3 = 3(2n + 1)
\]
Vậy \( a \) là một bội của 3.

- **Với \( b \)**:
Ta không thể viết \( b \) dưới dạng bội của 3 một cách rõ ràng, nhưng cần phân tích kỹ hơn.

**Bước 2: Kiểm tra ƯSCLN(a, b)**

Ta có:
\[
\gcd(a, b) = \gcd(6n + 3, 3n + 1)
\]

Sử dụng thuật toán Euclid:
\[
\gcd(6n + 3, 3n + 1) = \gcd(6n + 3 - 2(3n + 1), 3n + 1) = \gcd(6n + 3 - 6n - 2, 3n + 1) = \gcd(1, 3n + 1)
\]

**Bước 3: Kết luận**

Vì \( \gcd(1, 3n + 1) = 1 \), ta có:
\[
\gcd(a, b) = 1
\]

Vậy nên \( a \) và \( b \) là hai số nguyên tố cùng nhau.

**Kết:**
Chúng ta đã chứng minh rằng \( a \) và \( b \) là hai số nguyên tố cùng nhau.