Để chứng minh rằng tam giác \( ABC \) cân và \( AD = AE \), chúng ta có thể sử dụng các tính chất của đường trung trực và một số tính chất cơ bản trong hình học.

**Bước 1: Xác định vị trí các điểm và các đoạn thẳng.**
- Giả sử \( B, C \) là hai điểm trên đoạn thẳng \( BC \) và \( D, E \) là hai điểm trên đoạn thẳng \( BC \) sao cho \( BD = CE \).
- Điểm \( D \) nằm giữa điểm \( E \) và điểm \( C \).

**Bước 2: Lấy điểm \( A \) trên đường trung trực của đoạn thẳng \( DE \).**
- Đường trung trực của đoạn thẳng \( DE \) là tập hợp tất cả các điểm cách đều \( D \) và \( E \). Điều này nghĩa là:
\[
AD = AE.
\]

**Bước 3: Kẻ các đường vuông góc.**
- Kẻ đoạn thẳng \( EM \perp AB \) tại \( M \) và \( DN \perp AC \) tại \( N \).

**Bước 4: Chứng minh tam giác \( ABC \) cân.**
1. Vì \( A \) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \( DE \) nên ta có:
\[
AD = AE.
\]
2. Theo định nghĩa đường trung trực, điểm \( A \) sẽ có hai khoảng cách đến hai điểm \( D \) và \( E \) bằng nhau. Do đó, \( AM = AM \) và \( DN \) vuông góc với \( AC \).
3. Từ đó, chúng ta có:
\[
AB = AM + MB \quad \text{và} \quad AC = AN + NC.
\]
4. Vì \( BD = CE \) và \( D \) nằm giữa \( E \) và \( C \), từ định nghĩa \( AE = AD \) ta có các đoạn \( BM \) và \( CN \) cũng bằng nhau:
\[
BM = CN.
\]
5. Suy ra, \( AB = AC \).

Như vậy, ta có thể kết luận tam giác \( ABC \) là tam giác cân.

**Bước 5: Chứng minh \( AD = AE \).**
Như đã chứng minh ở Bước 4, vì \( A \) thuộc đường trung trực của đoạn \( DE \):
\[
AD = AE.
\]

### Hình vẽ minh hoạ
Để minh họa bằng hình vẽ, bạn có thể vẽ như sau:
1. Vẽ đoạn thẳng \( BC \) và đánh dấu các điểm \( B, C \).
2. Lấy hai điểm \( D, E \) trên đoạn thẳng sao cho \( BD = CE \) và \( D \) nằm giữa \( E \) và \( C \).
3. Vẽ đường trung trực của \( DE \) và đánh dấu điểm \( A \) trên đường này.
4. Kẻ đường vuông góc từ \( E \) tới \( AB \) tại \( M \) và từ \( D \) tới \( AC \) tại \( N \).

Hình vẽ sẽ giúp bạn hình dung rõ ràng hơn về cấu trúc hình học của bài toán.