Cho 2 số tự nhiên m và n thỏa mãn: m^2 + m = 2n^2+n. Chứng minh rằng: m+n+1 là số chính phương

Để chứng minh rằng \( m+n+1 \) là số chính phương với điều kiện \( m^2 + m = 2n^2 + n \), chúng ta sẽ bắt đầu từ phương trình đã cho và biến đổi nó.

Ta có phương trình:

\[
m^2 + m = 2n^2 + n
\]

Chúng ta có thể viết lại phương trình này:

\[
m^2 + m - 2n^2 - n = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai theo biến \( m \). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, \( a = 1, b = 1, c = -(2n^2+n) \). Tính discriminant:

\[
b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2n^2 + n)) = 1 + 8n^2 + 4n = 8n^2 + 4n + 1
\]

Đây là một biểu thức chính phương:

\[
8n^2 + 4n + 1 = (2n + 1)^2
\]

Vì vậy,

\[
m = \frac{-1 \pm (2n + 1)}{2}
\]

Ta có hai trường hợp:

1. \( m = \frac{-1 + (2n + 1)}{2} = n \)
2. \( m = \frac{-1 - (2n + 1)}{2} = -n - 1 \) (không thỏa mãn vì \( m \) là số tự nhiên)

Từ đó, ta rút ra được \( m = n \).

Thay vào biểu thức \( m + n + 1 \):

\[
m + n + 1 = n + n + 1 = 2n + 1
\]

Chúng ta biết rằng \( 2n + 1 \) là số lẻ. Ta sẽ kiểm tra xem liệu nó có thể là số chính phương hay không.

Gọi \( k^2 = 2n + 1 \), với \( k \) là một số tự nhiên. Khi đó:

\[
2n = k^2 - 1
\]
\[
n = \frac{k^2 - 1}{2}
\]

Để \( n \) là số tự nhiên, \( k^2 - 1 \) phải chia hết cho 2, điều này đúng với mọi số nguyên \( k \) (khi \( k \) là số lẻ, \( k^2 - 1 \) là số chẵn). Áp dụng \( k = 2t + 1 \) với \( t \) là số tự nhiên:

\[
k^2 = (2t + 1)^2 = 4t^2 + 4t + 1
\]
\[
2n + 1 = 4t^2 + 4t + 1 \implies 2n = 4t^2 + 4t \implies n = 2t^2 + 2t
\]

Từ đó, suy ra \( m + n + 1 = k^2 \), cho nên \( m+n+1 \) là một số chính phương.

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng \( m+n+1 \) là số chính phương.