Chứng minh với n thuộc Z thì

Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán này với \( n \) thuộc \( \mathbb{Z} \), ta sẽ kiểm tra từng câu theo các bước riêng biệt.

### a) \( n^3 + 2n = 6 \)

Chuyển thành phương trình:

\[ n^3 + 2n - 6 = 0 \]

Sử dụng thử các giá trị nguyên của \( n \):

- Khi \( n = 1 \): \( 1^3 + 2 \cdot 1 - 6 = -3 \) (không thỏa mãn)
- Khi \( n = 2 \): \( 2^3 + 2 \cdot 2 - 6 = 6 \) (thỏa mãn)

Ta thấy \( n = 2 \) là một nghiệm.

### b) \( n^5 - 6n^3 - 7n - 18 = 6 \)

Chuyển thành phương trình:

\[ n^5 - 6n^3 - 7n - 24 = 0 \]

Thử các giá trị:

- Khi \( n = 2 \): \( 2^5 - 6 \cdot 2^3 - 7 \cdot 2 - 24 = -14 \) (không thỏa mãn)

Có thể cần sử dụng giải phương trình để kiểm tra nghiệm hơn.

### c) \( a^5 - 5a^4 + 4a = 120 \)

Chuyển thành:

\[ a^5 - 5a^4 + 4a - 120 = 0 \]

Thử các giá trị:

- Khi \( a = 6 \): \( 6^5 - 5 \cdot 6^4 + 4 \cdot 6 = 120 \) (thỏa mãn)

### d) \( 2^{2019} \equiv 1 \mod 7 \)

Sử dụng định lý Fermat:

\[ 2^{6} \equiv 1 \mod 7 \]

Do đó,

\[ 2^{2019 \mod 6} \equiv 2^{3} \equiv 1 \mod 7 \]

### e) \( n^4 + n^2 + 5n + 3 = 3 \)

Chuyển thành:

\[ n^4 + n^2 + 5n = 0 \]

Phương trình này có thể xử lý được bằng cách đưa ra nhân tử:

\[ n(n^3 + n + 5) = 0 \]

Ta có nghiệm \( n=0 \).

### f) \( 5n^3 + 2n^4 + 25n - 6 = 6 \)

Chuyển thành:

\[ 2n^4 + 5n^3 + 25n - 12 = 0 \]

Kiểm tra nghiệm:

- Khi \( n = 1 \): \( 2 \cdot 1^4 + 5 \cdot 1^3 + 25 \cdot 1 - 12 = 20 \) (không thỏa mãn)

Cần sử dụng giải phương trình cho các giá trị nguyên.

### Kết luận

Mỗi phương trình cần kiểm tra cụ thể để tìm nghiệm nguyên. Một số giá trị có thể thỏa mãn và cần sử dụng phương pháp tính toán hoặc công thức để tìm nghiệm còn lại.