Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 3n+1 và 11n+1 đều là các số chính phương và n+3 là số nguyên tố

Để tìm tất cả các số nguyên dương \( n \) sao cho \( 3n + 1 \) và \( 11n + 1 \) đều là số chính phương, đồng thời \( n + 3 \) là số nguyên tố, ta bắt đầu với các điều kiện đã cho:

1. \( 3n + 1 = a^2 \) (với \( a \) là số nguyên)
2. \( 11n + 1 = b^2 \) (với \( b \) là số nguyên)
3. \( n + 3 = p \) (với \( p \) là số nguyên tố)

Từ 1 và 2, ta có thể biểu diễn \( n \) theo \( a \) và \( b \):

Từ phương trình đầu tiên:
\[
3n = a^2 - 1 \implies n = \frac{a^2 - 1}{3}
\]

Từ phương trình thứ hai:
\[
11n = b^2 - 1 \implies n = \frac{b^2 - 1}{11}
\]

Ta có hai biểu thức cho \( n \):
\[
\frac{a^2 - 1}{3} = \frac{b^2 - 1}{11}
\]

Khi đưa về một phía, ta có:
\[
11(a^2 - 1) = 3(b^2 - 1)
\]
\[
11a^2 - 3b^2 = 8
\]

Từ phương trình này, ta sẽ tìm các giá trị nguyên của \( a \) và \( b \).

**Tìm các nghiệm nguyên cho phương trình** \( 11a^2 - 3b^2 = 8 \).

Bắt đầu với một số giá trị nhỏ cho \( a \):
- Khi \( a = 1 \):
\[
11(1^2) - 3b^2 = 8 \implies 11 - 3b^2 = 8 \implies 3b^2 = 3 \implies b^2 = 1 \implies b = 1
\]
Vậy \( (a, b) = (1, 1) \).

- Khi \( a = 2 \):
\[
11(2^2) - 3b^2 = 8 \implies 44 - 3b^2 = 8 \implies 3b^2 = 36 \implies b^2 = 12 \quad (\text{không có nghiệm nguyên})
\]

- Khi \( a = 3 \):
\[
11(3^2) - 3b^2 = 8 \implies 99 - 3b^2 = 8 \implies 3b^2 = 91 \quad (\text{không có nghiệm nguyên})
\]

- Khi \( a = 4 \):
\[
11(4^2) - 3b^2 = 8 \implies 176 - 3b^2 = 8 \implies 3b^2 = 168 \implies b^2 = 56 \quad (\text{không có nghiệm nguyên})
\]

- Khi \( a = 5 \):
\[
11(5^2) - 3b^2 = 8 \implies 275 - 3b^2 = 8 \implies 3b^2 = 267 \implies b^2 = 89 \quad (\text{không có nghiệm nguyên})
\]

- Khi \( a = 6 \):
\[
11(6^2) - 3b^2 = 8 \implies 396 - 3b^2 = 8 \implies 3b^2 = 388 \implies b^2 = 129.33 \quad (\text{không có nghiệm nguyên})
\]

Do đó, chỉ có nghiệm duy nhất là \( (a, b) = (1, 1) \).

**Tính giá trị của \( n \):**
\[
n = \frac{1^2 - 1}{3} = \frac{0}{3} = 0 \quad \text{(không phải là số nguyên dương)}
\]

Vì thế, ta không có giá trị nào mới hơn ngoài nghiệm cũ.

Tiếp theo, kiểm tra điều kiện với \( n + 3 \):
- Khi \( n = 0 \): \( n + 3 = 3 \) (số nguyên tố).

Vì ta không tìm ra nghiệm khác cho phương trình \( 11a^2 - 3b^2 = 8 \), nên \( n = 0 \) là trường hợp duy nhất kiểm tra được.

**Kết luận:**
Không có số nguyên dương nào \( n \) sao cho \( 3n + 1 \) và \( 11n + 1 \) đều là số chính phương và \( n + 3 \) là số nguyên tố.