Để chứng minh các kết quả trong bài toán, ta sẽ làm từng phần một:

### a) Chứng minh \( AD = BC \)

1. **Xét tam giác \( ABC \)** với điểm \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( AC \).
2. **Xét điểm \( D \)** nằm trên tia đối của \( NB \) sao cho \( ND = NB \).
3. **Vì \( N \) là trung điểm của \( AC \)**, có \( AN = NC \).
4. **Sử dụng đồng dạng tam giác**:
- Tam giác \( AND \) đồng dạng với tam giác \( CMB \) (bằng tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh).
- Do đó, \( AD \) sẽ tương ứng với \( BC \), dẫn đến \( AD = BC \).

### b) Chứng minh \( AE \parallel BC \)

1. **Xét điểm \( E \)** nằm trên tia đối của \( MC \) sao cho \( ME = MC \).
2. **Xét tam giác \( AMC \)** và \( ME = MC \) cho thấy tỉ số \( \frac{AM}{ME} = \frac{AC}{MC} \).
3. **Sử dụng tính chất đường song song**:
- Từ đây suy ra rằng \( AE \) sẽ song song với \( BC \) theo tiêu chuẩn đường thẳng song song cắt các đoạn thẳng tương ứng.

### c) Chứng minh \( A \) là trung điểm của \( DE \)

1. **Từ kết quả ở trên**, ta có \( AD = BC \) và \( AE \parallel BC \).
2. **Xét tam giác \( AED \)**, vì \( A \) chia đoạn \( DE \) thành 2 phần bằng nhau:
- Khi đó, ta sẽ có \( AD + AE = DE \), từ đó dẫn đến \( A \) là trung điểm của \( DE \).

### Kết luận

Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán:
- \( AD = BC \)
- \( AE \parallel BC \)
- \( A \) là trung điểm của \( DE \)