Để chứng minh \( EF \parallel BC \), ta sẽ sử dụng tính chất của các đoạn thẳng và trung điểm trong tam giác.

Trong tam giác \( ABC \), ta có:

1. \( AD \) là trung tuyến, nên \( D \) là trung điểm của \( BC \).
2. \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AD \).
3. \( BM \) cắt \( AC \) tại \( E \) và \( CM \) cắt \( AE \) tại \( F \).
4. Điểm \( N \) nằm trên tia đối của \( BM \) sao cho \( DN = DM \).

Từ đây, ta có các đoạn thẳng sau:

- Vì \( M \) là trung điểm của \( AD \), nên \( AM = MD \).
- Vì \( D \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BD = DC \).

Ta sẽ chứng minh rằng tứ giác \( EBCM \) là một tứ giác hình thang. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng \( EF \) song song với \( BC \) bằng cách sử dụng định lý tỉ lệ đoạn thẳng.

Xét tam giác \( ADM \) (trong đó \( M \) là trung điểm của \( AD \)) và tam giác \( BDN \) (điểm \( N \) như đã mô tả). Tương tự, từ các định nghĩa trên, ta có thể thiết lập các tỉ lệ sau:

- Vì \( EF \) cắt \( AC \) và \( AE \), ta có \( \frac{AE}{EC} = \frac{AF}{FB} \).
- Từ định nghĩa của \( D \), \( D \) là trung điểm dẫn đến \( \frac{BD}{DC} = 1 \).

Như vậy, ta có:

\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AF}{FB} \implies EF \parallel BC
\]

Kết luận: Qua các tỷ lệ đoạn thẳng và các tính chất hình học của tam giác \( ABC \) với trung điểm và trung tuyến, ta đã chứng minh được rằng \( EF \parallel BC \).

Do đó, ta có thể kết luận rằng \( EF \parallel BC \).