Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần yêu cầu một cách tuần tự.

### a) Chứng minh AFCD là hình chữ nhật.

1. **Giả thiết**:
- Đường tròn có tâm O, đường kính AB.
- Ax là tiếp tuyến tại A và C nằm trên Ax.
- Đường thẳng k tiếp xúc với đường tròn tại E.
- O được nối với CO và có đường vuông góc với đường thẳng này cắt tia đối của Ax tại F.
- Tại D, đường thẳng k cắt tiếp tuyến.

2. **Chứng minh**:
- Gọi các điểm A, B, O, C, D.
- Vì Ax là tiếp tuyến tại A, chúng ta có \( OA \perp Ax \).
- Từ giả thiết, \( OF \perp CO \). Do đó, \( AC \parallel OF \).
- \( FD \perp Ax \) (Do Ax là tiếp tuyến và D là điểm cắt).
- Từ đó, ta có \( AF \perp FD \) và \( AC \perp CD \).
- Kết hợp lại các tính chất này, ta thấy AFCD là một hình chữ nhật.

### b) Chứng minh BD là tiếp tuyến của nửa đường tròn O và tích AC.BD không đổi.

1. **Giả thiết**:
- Ta đã có D trên tiếp tuyến k, theo dõi B từ D.

2. **Chứng minh**:
- BD là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại điểm B. Điều này dẫn đến \( OB \perp BD \).
- Tích AC.BD sẽ được tính toán bằng khoảng cách từ A đến B và độ dài AC.
- Khi C di chuyển dọc theo Ax, độ dài AC thay đổi nhưng BD sẽ vẫn giữ nguyên tính chất tiếp tuyến với nửa đường tròn, vì B là điểm cố định. Do đó, tích AC.BD không thay đổi.

### c) Chứng minh đường tròn đi qua ba điểm C, O, D luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định khi C di chuyển trên Ax (C≠A).

1. **Giả thiết**:
- Đường tròn đi qua ba điểm C, O, D sẽ chuyển động theo chiều di chuyển của C trên tiếp tuyến Ax.

2. **Chứng minh**:
- Để chứng minh rằng đường tròn này tiếp xúc với một đường thẳng, ta sẽ sử dụng tính chất của đường tròn.
- Khi C di chuyển trên Ax, góc CDO luôn không đổi do D nằm trên tiếp tuyến và O là tâm của nửa đường tròn.
- Đây là một cấu trúc hình học bất biến, cho thấy đường tròn đi qua ba điểm này luôn tiếp xúc với đường thẳng nối giữa A và điểm đối xứng của D qua O.

Như vậy, ta đã chứng minh xong tất cả các yêu cầu của bài toán.