Để rút gọn biểu thức \( \frac{ab^2\sqrt{3}}{a^2} \times \frac{b^4}{ab^2\sqrt{3}} \), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Ghi lại biểu thức:
\[
\frac{ab^2\sqrt{3}}{a^2} \times \frac{b^4}{ab^2\sqrt{3}}
\]

Bước 2: Nhân các phân số lại với nhau:
\[
\frac{ab^2\sqrt{3} \times b^4}{a^2 \times ab^2\sqrt{3}}
\]

Bước 3: Cắt gọn các yếu tố giống nhau:
- Trong tử số: \( ab^2\sqrt{3} \) và \( b^4 \)
- Trong mẫu số: \( a^2 \) và \( ab^2\sqrt{3} \)

Ta có:
- Tử số: \( ab^2\sqrt{3} \times b^4 = ab^2b^4\sqrt{3} = ab^{6}\sqrt{3} \)
- Mẫu số: \( a^2 \times ab^2\sqrt{3} = a^{3}b^2\sqrt{3} \)

Vậy biểu thức trở thành:
\[
\frac{ab^{6}\sqrt{3}}{a^{3}b^{2}\sqrt{3}}
\]

Bước 4: Gạch bỏ \(\sqrt{3}\) trong tử và mẫu:
\[
\frac{ab^{6}}{a^{3}b^{2}}
\]

Bước 5: Cắt gọn phần \(a\) và \(b\):
\[
= \frac{a^{1}}{a^{3}} \times \frac{b^{6}}{b^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \times b^{4} = \frac{b^{4}}{a^{2}}
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
\frac{b^{4}}{a^{2}}
\]