Chứng minh AMHN là hình chữ nhật. Trên tia đối của tia MH, lấy điểm D sao cho MH = MD. Trên tia đối của tia NH, lấy điểm E sao cho NH = NE. Chứng minh: Tứ giác AMNE là hình bình hành

Để chứng minh các yêu cầu bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một cách hệ thống:

### a) Chứng minh AMHN là hình chữ nhật

Trong tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\), ta có:

- \(AH\) là đường cao từ \(A\) xuống \(BC\).
- \(HM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\), điều này có nghĩa là góc \(AMH = 90^\circ\).
- \(HN\) vuông góc với \(AC\) tại \(N\), điều này có nghĩa là góc \(ANH = 90^\circ\).

Có hai góc vuông liên tiếp tại \(A\), tức là:

\[
AMH + ANH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]

Do đó, ta có góc \(AMN = 90^\circ\) và góc \(ANM = 90^\circ\).

Vì \(MH\) vuông góc với \(AB\) và \(HN\) vuông góc với \(AC\), ta suy ra \(AM\) và \(AN\) lần lượt song song với các cạnh của tam giác vuông \(ABC\).

Từ đó, theo định nghĩa, tứ giác \(AMHN\) có 4 góc vuông, nên là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác AMNE là hình bình hành

Ta đã biết từ yêu cầu (a) rằng \(AMHN\) là hình chữ nhật.

- Từ \(H\) vẽ điểm \(D\) trên tia đối của tia \(MH\) sao cho \(MH = MD\), do đó ta có \(MD = MH\) và góc \(MHD = 180^\circ\).
- Tương tự, từ \(H\) vẽ điểm \(E\) trên tia đối của tia \(NH\) sao cho \(NH = NE\), tức là \(NE = NH\) và góc \(NHE = 180^\circ\).

Do đó, trong tứ giác \(AMNE\):

- Ta có \(MH = MD\) và \(NH = NE\).
- Vì \(H\) thuộc đường chéo của hình chữ nhật \(AMHN\), nên \(AM\) song song với \(NE\) và \(AN\) song song với \(MD\).

Từ đó ta có thể suy ra rằng hai cặp cạnh đối diện \(AM\) và \(NE\); \(AN\) và \(MD\) lần lượt song song và bằng nhau. Do đó, tứ giác \(AMNE\) là hình bình hành.

### c) Chứng minh A là trung điểm của DE

Năm trong các hình đã chứng minh trước đây:

- Theo nhận xét từ b), ta có \(MH = MD\) và cũng có \(NH = NE\).
- Xác định trung điểm của một đoạn thẳng được xác định bởi cách điểm cùng một đoạn là trọng điểm số cặp các đoạn vuông góc hướng ra ngoài, khi xét bài viết. Ta có:

\[
AD = AH + HD = AH + AH = 2AH \rightarrow A là trung điểm của DE.
\]

Do đó, điểm \(A\) chính là trung điểm của đoạn thẳng \(DE\).

Vậy ta đã hoàn tất cả các chứng minh cho bài toán.