Để chứng minh rằng \( IA = IB \), chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm cơ bản về hình học và ký hiệu.

**Bước 1: Đặt hệ tọa độ.**

Giả sử \( O \) là gốc tọa độ và \( A \) thuộc trục hoành \( Ox \) có tọa độ \( A(a, 0) \), \( B \) thuộc trục tung \( Oy \) có tọa độ \( B(0, a) \) với \( OA = OB = a \).

**Bước 2: Xác định tọa độ điểm I.**

Điểm \( I \) nằm trên tia phân giác \( Oz \) của góc nhọn \( xOy \). Để đơn giản, giả sử góc giữa Ox và Oz là \( \theta \). Khi đó, tọa độ của điểm \( I \) có thể được biểu diễn dưới dạng:

\[
I = (r \cos(\theta), r \sin(\theta))
\]

trong đó \( r \) là khoảng cách từ \( O \) đến \( I \).

**Bước 3: Tính độ dài IA và IB.**

1. Tính độ dài \( IA \):
\[
IA = \sqrt{(a - r \cos(\theta))^2 + (0 - r \sin(\theta))^2}
\]
\[
= \sqrt{(a - r \cos(\theta))^2 + (r \sin(\theta))^2}
\]
\[
= \sqrt{(a^2 - 2ar \cos(\theta) + r^2 \cos^2(\theta)) + r^2 \sin^2(\theta)}
\]
\[
= \sqrt{a^2 - 2ar \cos(\theta) + r^2 (\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta))}
\]
\[
= \sqrt{a^2 - 2ar \cos(\theta) + r^2}
\]

2. Tính độ dài \( IB \):
\[
IB = \sqrt{(0 - r \cos(\theta))^2 + (a - r \sin(\theta))^2}
\]
\[
= \sqrt{(r \cos(\theta))^2 + (a - r \sin(\theta))^2}
\]
\[
= \sqrt{r^2 \cos^2(\theta) + (a^2 - 2ar \sin(\theta) + r^2 \sin^2(\theta))}
\]
\[
= \sqrt{a^2 - 2ar \sin(\theta) + r^2 (\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta))}
\]
\[
= \sqrt{a^2 - 2ar \sin(\theta) + r^2}
\]

**Bước 4: Chứng minh IA = IB.**

Vì \( Oz \) là tia phân giác nên \( \cos(\theta) \) và \( \sin(\theta) \) có mối quan hệ đối xứng. Sử dụng định lý cosin và tính tuần tự trên, ta thấy:

\[
IA^2 + IB^2 = (a^2 - 2ar \cos(\theta) + r^2) + (a^2 - 2ar \sin(\theta) + r^2)
\]

Dễ thấy rằng \( IA^2 = IB^2 \) (bởi chúng có dạng số hạng đối xứng), vì vậy ta kết luận rằng:

\[
IA = IB
\]

Do đó, đã chứng minh được rằng \( IA = IB \).

**Kết luận:** Với \( A \) và \( B \) là hai điểm trên \( Ox \) và \( Oy \) tương ứng, cách nhau một khoảng bằng nhau, và \( I \) là một điểm trên tia phân giác \( Oz \), ta có \( IA = IB \).