Để giải bài toán hình học này, ta thực hiện từng phần một:

### Phần a: Chứng minh \( EB = EK \)

- **Chứng minh:**
1. Xét tam giác \( AKE \). Ta có \( BK \perp AC \) và \( AK \) là cạnh huyền. Do đó, \( E \) nằm trên đường cao từ \( K \) xuống \( AC \).
2. Vì \( M \) là trung điểm của \( AK \), \( AM = MK \).
3. Do đó, tam giác \( BKE \) vuông tại \( K \) và \( AE = KE \) theo tính chất đường cao của tam giác vuông.
4. Từ đó suy ra \( EB = EK \).

### Phần b: Chứng minh \( MNCE \) là hình bình hành

- **Chứng minh:**
1. Xét các điểm \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AK \) và \( DC \) tương ứng.
2. Ta có \( MN \) song song với \( CE \) và \( MC \) song song với \( NE \) (vì cùng nằm trên các đáy của hình bình hành).
3. Do đó, \( MNCE \) sẽ là hình bình hành vì hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

### Phần c: Chứng minh \( MN \perp BM \)

- **Chứng minh:**
1. Do \( K \) nằm trên \( AC \) và \( CI \) cắt \( BK \) tại \( E \), ta có \( CI \perp BK \).
2. Nếu \( BM \) là đường thẳng cắt \( CI \) tại \( I \), ta có một tam giác \( BME \) vuông tại \( E \).
3. Điều này dẫn đến việc \( MN \) sẽ nằm tại một phương vuông góc với đường thẳng nối giữa hai điểm \( M \) và \( N \).
4. Do đó ta kết luận \( MN \perp BM \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.