Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu một.

**Bài 8**: Cho hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), \( \angle A = \angle D = 90^\circ \) và \( CD = 2AB \).

- Gọi \( AB = a \), vậy \( CD = 2a \).
- Ta có hình thang \( ABCD \):
- \( AB = a \)
- \( CD = 2a \)
- \( AD \) và \( BC \) là các cạnh bên với \( \angle DAB = 90^\circ \) và \( \angle ABC = 90^\circ \).

### a) Chứng minh \( MN = AB \).

- Điểm \( M \) là trung điểm của \( AC \) và điểm \( N \) là trung điểm của \( BD \).
- Áp dụng định lý trung bình:
- Tam giác \( ABC \) và \( ADC \) đều là tam giác vuông.
- Ta có
\[
AM = \frac{AC}{2} , \quad ND = \frac{BD}{2}
\]
- Tính chiều dài \( AC \) và \( BD \):
- \( AC = AD \) (vì hình ABCD là hình chữ nhật)
- \( BD = AB + AD \) và \( AD = AB \).
- Từ đó suy ra \( MN = \frac{CD}{2} - \frac{AB}{2} = a \).

### b) Chứng minh \( ABMN \) là hình bình hành.

- Một tứ giác là hình bình hành nếu có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
- Ta đã có \( AM \parallel BN \) và \( AB = MN \).
- Do đó, \( ABMN \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh \( \angle BMD = 90^\circ \).

- Để chứng minh điều này, ta xét các góc trong tam giác \( BMD \).
- \( \angle A = 90^\circ \) và \( M \) là trung điểm của \( AC \), do đó
\[
\angle BMD = 90^\circ.
\]

### Kết luận

Ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.