Để tìm số nguyên tố \( p \) sao cho \( p + 2 \) và \( p + 4 \) đều là số nguyên tố, chúng ta có thể kiểm tra từng số nguyên tố \( p \) một cách tuần tự.

Bắt đầu với các số nguyên tố nhỏ:

- \( p = 2 \):
- \( p + 2 = 4 \) (không phải là số nguyên tố)

- \( p = 3 \):
- \( p + 2 = 5 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 4 = 7 \) (là số nguyên tố)

Kết quả: \( p = 3 \) là một số nguyên tố thỏa mãn điều kiện.

- \( p = 5 \):
- \( p + 2 = 7 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 4 = 9 \) (không phải là số nguyên tố)

- \( p = 7 \):
- \( p + 2 = 9 \) (không phải là số nguyên tố)

- \( p = 11 \):
- \( p + 2 = 13 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 4 = 15 \) (không phải là số nguyên tố)

- \( p = 13 \):
- \( p + 2 = 15 \) (không phải là số nguyên tố)

- \( p = 17 \):
- \( p + 2 = 19 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 4 = 21 \) (không phải là số nguyên tố)

- \( p = 19 \):
- \( p + 2 = 21 \) (không phải là số nguyên tố)

- \( p = 23 \):
- \( p + 2 = 25 \) (không phải là số nguyên tố)

- \( p = 29 \):
- \( p + 2 = 31 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 4 = 33 \) (không phải là số nguyên tố)

Qua quá trình kiểm tra, ta thấy rằng chỉ có \( p = 3 \) là số nguyên tố duy nhất mà \( p + 2 \) và \( p + 4 \) đều là số nguyên tố.

Vậy số nguyên tố \( p \) thỏa mãn điều kiện là:

\[
\boxed{3}
\]