Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của triangles và một số định lý cơ bản trong hình học.

### a) Chứng minh \(\triangle AMB = \triangle ANC\)

#### Dữ liệu:
- \( AM = AN \) (Theo đề bài)
- \( AB = AC \) (Theo đề bài)
- \( BM = NC \) (Vì \( BM = MN = NC \))

#### Chứng minh:
1. **Cạnh:** \( AM = AN \) (giả thiết).
2. **Cạnh:** \( AB = AC \) (giả thiết).
3. **Cạnh:** \( BM = NC \) (giả thiết).

Do đó, ta có hai tam giác \( \triangle AMB \) và \( \triangle ANC \) có:
- Cạnh \( AM \) là cạnh chung,
- Và theo định lý cạnh - cạnh - cạnh (SSS), chúng ta có \( \triangle AMB \cong \triangle ANC \).

### b) Chứng minh \(\angle ABN = \angle ACM\)

#### Phân tích góc:
Từ \( \triangle AMB \) và \( \triangle ANC \) đã chứng minh ở phần a), ta thấy:
- \( \angle ABM = \angle ACN \) (do tính đối xứng của hai tam giác này).

Do đó, từ đây ta suy ra:
\[
\angle ABN = \angle ABM + \angle MBN
\]
\[
\angle ACM = \angle ACN + \angle NCM
\]

Tuy nhiên, ta lưu ý rằng góc \( MBN \) và \( NCM \) cũng bằng nhau do điểm \( M \) và \( N \) được đặt đều trên \( BC \) và \( BM = NC \).

Vậy:
\[
\angle ABN = \angle ACM
\]

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
\angle ABN = \angle ACM
\]

### Kết luận

Từ các chứng minh trên, ta đã hoàn thành hai yêu cầu của bài toán.