Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết:

### a) Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật và \( AH = MN \)

1. **Đặc điểm của tứ giác AMHN:**
- **M nằm trên AB và N nằm trên AC**: Vì \( HM \perp AB \) và \( HN \perp AC \), nên \( HM \) và \( HN \) là các đường vuông góc với các cạnh của tam giác.
- **Các cạnh AM và AN đều vuông góc với cặp cạnh tương ứng**: Do đó, tứ giác AMHN có 4 góc vuông (AMH, ANH, MHA, NHA).

2. **Tính chất hình chữ nhật:**
- Vì có 4 góc vuông, nên AMHN là hình chữ nhật.
- Ta có \( AH = HM + HN \) và do H là chân đường cao, ta có \( AH = MN \).

### b) Gọi O là giao điểm của AH và MN

1. **TA không gian trên mặt phẳng:**
- Lấy P sao cho \( NA = NP \), mà HN lại cắt MP tại I. Lúc này, O là giao điểm giữa hai đường thẳng AH và MN.

2. **Chứng minh MN ⊥ HP và O, I, J thẳng hàng:**
- MN vuông góc với AH (do đó MN ⊥ HP).
- Theo định lý hình chữ nhật, điểm O nằm trên cả AH và MN, đồng nghĩa với việc O, I, J là thẳng hàng.

### c) Trên tia AJ lấy điểm E sao cho J là trung điểm của AE

1. **Thiết lập điểm E:**
- Chọn điểm E trên tia AJ sao cho J là trung điểm của đoạn thẳng AE.

2. **MN cắt CE tại K:**
- Xét đường thẳng CE, khi MN cắt CE tại K, ta cần chứng minh rằng tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác MKE là tam giác vuông cân.

### Kết thúc:

- Để tứ giác MKE là tam giác vuông cân, ta cần điều kiện rằng AM = AN (vì hình chữ nhật AMHN có các đoạn AM và AN bằng nhau).
- Trên đây là hướng dẫn chi tiết để hoàn thành bài tập. Nếu cần thêm thông tin hay điều gì khác, hãy cho tôi biết!