Để chứng minh rằng đường thẳng \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( M \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học Euclid.

1. **Gọi các yếu tố**: Đường tròn \( (O) \) có tâm \( O \), bán kính \( R \); điểm \( I \) ở bên ngoài đường tròn; điểm \( K \) là trung điểm của đoạn thẳng \( IO \). Vì \( K \) là trung điểm, nên ta có \( IK = KO \).

2. **Gọi \( M \)**: M là giao điểm của đường tròn tâm \( K \) đường kính \( IO \) và đường tròn \( (O) \). Theo định nghĩa, đường tròn tâm \( K \) và đường kính \( IO \) sẽ có bán kính \( IK = KO \).

3. **Điểm M và các tam giác**: Do \( M \) là giao điểm của hai đường tròn, ta sẽ căn cứ vào các tính chất hình học của tam giác \( IMK \) và \( OMK \):
- Trong tam giác \( IMK \), ta có \( IK \perp IM \) bởi vì đường kính \( IO \) luôn vuông góc với bán kính tại điểm M.
- Do đó, \( IK \) vuông góc với \( IM \) tức là \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( M \).

4. **Xét góc**: Để chắc chắn hơn, ta có thể xét góc \( \angle IMK \) và \( \angle OMI \):
- Vì \( M \) nằm trên đường tròn \( (O) \), ta có thể nói rằng \( OM \) là một bán kính, tức là vuông góc với tiếp tuyến tại điểm \( M \).
- Do vậy, \( OM \perp IM \) nghĩa là đường thẳng \( IM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \( M \).

Từ các phân tích trên, chúng ta có thể kết luận rằng:
\[
\text{Đường thẳng } IM \text{ là tiếp tuyến của đường tròn } (O) \text{ tại điểm } M.
\]

Chứng minh hoàn tất.