Chúng ta sẽ giải từng bài toán một.

**a. Giải phương trình \(2^x : 4 = 16\)**

Trước tiên, chúng ta có thể viết lại phương trình:

\[
\frac{2^x}{4} = 16
\]

Biết rằng \(4 = 2^2\) và \(16 = 2^4\), chúng ta có thể thay thế vào phương trình:

\[
\frac{2^x}{2^2} = 2^4
\]

Khi đó, ta có:

\[
2^{x-2} = 2^4
\]

Vì hai cơ số bằng nhau, ta có thể so sánh số mũ:

\[
x - 2 = 4
\]
\[
x = 6
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 6\).

---

**b. Tìm \(x\) sao cho \(15\) chia hết cho \(x + 1\)**

Điều này có nghĩa là \(x + 1\) là một ước của \(15\). Các ước của \(15\) là: \(1, 3, 5, 15, -1, -3, -5, -15\).

Từ đó, ta tìm \(x\):

- \(x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0\)
- \(x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2\)
- \(x + 1 = 5 \Rightarrow x = 4\)
- \(x + 1 = 15 \Rightarrow x = 14\)
- \(x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2\)
- \(x + 1 = -3 \Rightarrow x = -4\)
- \(x + 1 = -5 \Rightarrow x = -6\)
- \(x + 1 = -15 \Rightarrow x = -16\)

Vậy nghiệm là \(x = 0, 2, 4, 14, -2, -4, -6, -16\).

---

**c. Giải phương trình \(5 + 3^{x+1} = 86\)**

Ta có:

\[
3^{x+1} = 86 - 5
\]
\[
3^{x+1} = 81
\]

Biết rằng \(81 = 3^4\), ta có:

\[
3^{x+1} = 3^4
\]

Vì hai cơ số bằng nhau, ta so sánh số mũ:

\[
x + 1 = 4
\]
\[
x = 3
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\).

---

**Tìm \(x\) thuộc tập số nguyên trong phương trình: \((5x + 20)(x^2 + 1) = 0\)**

Phương trình này có tích bằng 0, nên có thể giải từng nhân tử:

1. \(5x + 20 = 0\)

\[
5x = -20
\]
\[
x = -4
\]

2. \(x^2 + 1 = 0\)

Phương trình \(x^2 + 1 = 0\) không có nghiệm trong số thực (vì \(x^2 \geq 0\) với mọi số thực).

Vậy nghiệm duy nhất trong số nguyên là \(x = -4\).

---

Tóm lại, các nghiệm tìm được:
- a: \(x = 6\)
- b: \(x = 0, 2, 4, 14, -2, -4, -6, -16\)
- c: \(x = 3\)
- Đối với phương trình cuối: \(x = -4\)