Cho tam giác ABC vuông tại C có CA = b. Tính AB . CA

Để giải quyết các bài toán từ hình vẽ tam giác vuông ABC ở trên, ta sẽ thực hiện từng phần một:

1. Tính \( AB \cdot CA \) khi tam giác ABC vuông tại C, có \( CA = b \).

Trong tam giác vuông ABC, theo định lý Pythagoras, ta có:

\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]

Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), và \( BC = a \). Ta cần tìm \( AB \cdot CA = c \cdot b \) hoặc \( c \).

Từ đó, ta có:
\[
c = \sqrt{b^2 + a^2}
\]
=> \( AB \cdot CA = b \cdot \sqrt{b^2 + a^2} \).

2. Với 2 vector \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \), tính toán các yêu cầu:

a) Tính tích vô hướng \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) với điều kiện \( |\vec{a}| = 6 \), \( |\vec{b}| = 8 \) và \( |\vec{a} + \vec{b}| = 10 \).

Áp dụng công thức:
\[
|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}
\]

Thay số vào:
\[
10^2 = 6^2 + 8^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b}
\]
\[
100 = 36 + 64 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b}
\]

Giải phương trình:
\[
100 = 100 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} \Rightarrow 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0
\]

=> Vector \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \) vuông góc với nhau.

b) Tính góc giữa hai vector \( \vec{a} \) và \( \vec{a} + \vec{b} \).

Ta có:
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{a}| |\vec{a} + \vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{a} + \vec{b}|}
\]

Thay giá trị đã biết vào để tính.

3. Tương tự với các phần còn lại trong bài, áp dụng các định lý và công thức đã biết để tìm giá trị cần thiết.

Bạn có thể yêu cầu giải thích thêm cho từng phần cụ thể nếu cần!