Để chứng minh các câu hỏi trong bài toán này, ta sẽ thực hiện như sau:

### a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.

1. **Kí hiệu vị trí các điểm:**
- Gọi \( M \), \( N \), \( P \) là trung điểm của các cạnh \( AB \), \( AC \), \( BC \) tương ứng.

2. **Sử dụng định nghĩa hình thang:**
- Tứ giác \( BMNC \) là hình thang nếu có hai cạnh đối diện song song.

3. **Chứng minh hai cạnh \( BM \) và \( CN \) song song:**
- Ta biết rằng \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( AC \).
- Xét vectơ:
- \( \vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{AB} \)
- \( \vec{CN} = \frac{1}{2} \vec{AC} \)
- Để chứng minh \( BM \parallel CN \), ta cần chỉ ra rằng tỷ lệ của hai véc tơ này bằng nhau. Do đó, từ định nghĩa và tính chất của trung điểm:
\[
\vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{B} + \frac{1}{2} \vec{A} - \vec{B}
\implies \vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{BA}
\]
\[
\vec{CN} = \frac{1}{2} \vec{C} + \frac{1}{2} \vec{A} - \vec{C}
\implies \vec{CN} = \frac{1}{2} \vec{CA}
\]
- Do đó, ta có \( \vec{BM} \parallel \vec{CN} \).

4. **Kết luận:**
- Vì vậy, tứ giác \( BMNC \) là hình thang.

### b) Tứ giác MNPB là hình gì? Tại sao?

1. **Tứ giác MNPB:**
- Xét các điểm trung điểm \( M, N, P \).

2. **Sử dụng tính chất của các đoạn thẳng:**
- Ta biết rằng trung điểm của các cạnh tam giác cho ra các đoạn nối này sẽ cắt nhau tại các điểm trung điểm.

3. **Chứng minh tứ giác:**
- Xét các đoạn \( MN, NP, PB \) và \( BM \):
- Tứ giác \( MNPB \) có hai đoạn \( MN \) và \( PB \) là hai đoạn trung bình so với hai cạnh (cạnh bên và cạnh đáy của hình thang), do đó nó sẽ song song với nhau.

4. **Kết luận:**
- Tứ giác \( MNPB \) là hình bình hành, vì có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

### Tóm lại:
- **Tứ giác \( BMNC \)** là hình thang.
- **Tứ giác \( MNPB \)** là hình bình hành.