Để chứng minh các hệ quả trong bài toán hình học này, ta sẽ lần lượt giải từng phần.

### a) Chứng minh ΔABM = ΔACN và ΔBMC = ΔCNB

1. **Chứng minh ΔABM = ΔACN**:
- **Dữ kiện**:
- AB = AC (giả thiết)
- AM = AN (vì M, N là trung điểm của AC và AB)
- BM = CN (cùng bằng nửa chiều dài của BC)
- **Kết luận**: Do đó, ta có hai tam giác ΔABM và ΔACN đồng dạng với nhau (có 2 cạnh và góc xen giữa bằng nhau), suy ra ΔABM = ΔACN.

2. **Chứng minh ΔBMC = ΔCNB**:
- **Dữ kiện**:
- BM = CN (như đã chỉ ra ở trên)
- AM = AN (vì M, N là trung điểm)
- BC là cạnh chung của cả hai tam giác.
- **Kết luận**: Theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh, ΔBMC = ΔCNB.

### b) Lấy điểm E, F sao cho M là trung điểm của BE, N là trung điểm của CF. Chứng minh AE = AF.

1. **Thực hiện**:
- Giả sử E, F được chọn sao cho M là trung điểm của BE và N là trung điểm của CF.
- Theo định nghĩa trung điểm, ta có:
- BM = ME và CN = NF.
- Suy ra:
- AE = AM + ME = AM + BM = AB
- AF = AN + NF = AN + CN = AC

2. **Kết luận**:
- Vì AB = AC nên AE = AF.

### c) Chứng minh MN // BC, MN // EF

1. **Chứng minh MN // BC**:
- Vì M, N là trung điểm của AC và AB, theo định lý trung bình, ta có:
- MN // BC (dựa vào định lý trung bình của các đoạn thẳng trong tam giác).

2. **Chứng minh MN // EF**:
- Tương tự, với các điểm E và F mà ta đã lấy, ta có:
- Vì M, N là trung điểm của BE và CF nên:
- MN // EF (do cùng một quy tắc về trung điểm).

### Kết luận

Từ các bước trên, ta đã chứng minh được các hệ quả đề bài yêu cầu.