Để chứng minh OEFM là hình thang và BO = 3.OE trong tam giác ABC có trung tuyến AM trên AC, với các điểm E và F sao cho AE = EF = FC, và BE cắt AM tại O, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh OEFM là hình thang

Giả sử A là điểm (0,0), B là điểm (b, 0), C là điểm (c, 0) trên trục hoành (để đơn giản ta làm việc trong hệ tọa độ), với M là trung điểm của AC. Khi đó, M sẽ có tọa độ:

\[ M\left(\frac{c}{2}, 0\right) \]

Từ điều kiện AE = EF = FC, ta có thể lấy E và F như sau:

- AE = x, EF = x, FC = x, với x = AE = EF = FC.
- Do đó, AE + EF + FC = AC, suy ra 3x = AC, tức là \( x = \frac{AC}{3} \)

Khi đó, tọa độ của E và F sẽ như sau:

- E có tọa độ: \( E\left(\frac{c}{3}, 0\right) \)
- F có tọa độ: \( F\left(\frac{2c}{3}, 0\right) \)

Bây giờ, ta sẽ tìm tọa độ điểm O. Khi BE cắt AM tại O, ta sẽ tính toán vị trí của O. Từ tính chất của trọng tâm G trong tam giác ABC, người ta biết rằng:

- O nằm trên trung tuyến AM, chia AM theo tỉ lệ 2:1 và O là điểm trung gian giữa điểm B và G.

Ta có tỷ lệ giữa BO và OE, với O nằm trên AM. Vậy chúng ta có thể chứng minh rằng tam giác OEFM có AE // MF (vì OEFM là những điểm nằm trong tam giác ABC và O nằm trên AM).

Từ đây, ta có:

\[ OEFM là hình thang \]

### b) Chứng minh BO = 3.OE

Dựa vào tỉ lệ giữa các đoạn thẳng, điều này có thể được thực hiện bằng định lý trọng tâm trong tam giác. Với khoảng cách giữa O và E, ta có:

- Khi O nằm trên AM, và AM chia đoạn BE tỉ lệ 2:1. Khi BE cắt AM tại O, đồng nghĩa rằng:

\[ AO : OM = 2:1 \]

Do đó, nếu đặt \( OE = x \), thì \( BO = 3x \).

Dẫn đến:

\[ BO = 3 \cdot OE \]

Từ những lý thuyết và công thức mà chúng ta đã sử dụng, chúng ta đã có thể chứng minh OEFM là hình thang và BO = 3.OE.