Để tìm \( n \) sao cho \( 9n + 24 \) và \( 3n + 4 \) là hai số nguyên tố cùng nhau, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Xác định hai biểu thức:**
- \( a = 9n + 24 \)
- \( b = 3n + 4 \)

2. **Tính ước số chung:**
- Hai số nguyên tố cùng nhau tức là \( \text{gcd}(a, b) = 1 \).

3. **Tính gcd bằng cách sử dụng định lý Euclid:**
- Ta có thể sử dụng công thức:
\[
\text{gcd}(a, b) = \text{gcd}(b, a - k \cdot b)
\]
với \( k \) là một số nguyên thích hợp. Ở đây, ta sẽ lấy \( k = 3 \):
\[
a - 3b = (9n + 24) - 3(3n + 4) = 9n + 24 - 9n - 12 = 12
\]

4. **Tính \( \text{gcd}(b, 12) \):**
- Ta cần hội thoại \( 3n + 4 \) và 12:
\[
\text{gcd}(3n + 4, 12)
\]
\( 3n + 4 \) cần phải không có ước chung với 12.

5. **Kiểm tra điều kiện:**
- \( 3n + 4 \) có thể được chia cho 3:
- Nếu \( n \equiv 0 \,(\text{mod } 3)\), ta có \( 3n + 4 \equiv 4 \,(\text{mod } 3) \) (không chia hết).
- Nếu \( n \equiv 1 \,(\text{mod } 3)\), ta có \( 3n + 4 \equiv 7 \,(\text{mod } 3) \) (không chia hết).
- Nếu \( n \equiv 2 \,(\text{mod } 3)\), ta có \( 3n + 4 \equiv 10 \,(\text{mod } 3) \) (không chia hết).

6. **Giải quyết với các giá trị không âm của \( n \):**
- Kiểm tra các giá trị \( n = 0, 1, 2, ... \) cho đến khi tìm được hai số nguyên tố cùng nhau.

### Ví dụ:
- Với \( n = 0 \):
\[
a = 24, \, b = 4 \quad \text{(không cùng nhau)}
\]
- Với \( n = 1 \):
\[
a = 33, \, b = 7 \quad \text{(cùng nhau)}
\]
- Với \( n = 2 \):
\[
a = 42, \, b = 10 \quad \text{(không cùng nhau)}
\]
- Với \( n = 3 \):
\[
a = 51, \, b = 13 \quad \text{(cùng nhau)}
\]

### Kết luận:
Các giá trị \( n \) cho \( 9n + 24 \) và \( 3n + 4 \) là số nguyên tố cùng nhau có thể là \( n = 1, 3 \).