Để chứng minh các phần của bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước một.

### a) Chứng minh tam giác ACE = tam giác DCE

1. **Cho tam giác ABC**, với \(A\) là góc vuông tại \(A\) (tức là \(\angle A = 90^\circ\)).

2. **Điểm** \(D\) trên cạnh \(CB\) sao cho \(CD = CA\), tức là \(CD = b\) (nếu \(CA = b\)).

3. **Gọi** \(E\) là giao điểm của tia phân giác của \(\angle C\) và đoạn thẳng \(AB\).

4. **Chứng minh**: Chúng ta sẽ chứng minh rằng hai tam giác \(ACE\) và \(DCE\) tương đương.

- **Góc** \(ACE\) bằng với góc \(DCE\) (do \(CE\) là tia phân giác của góc \(C\)).
- **Góc** \(AEC = DEC\), do cả hai đều là góc vuông (vì \(A\) và \(D\) cùng nằm trên tia thẳng góc tại \(C\)).
- **Cạnh** \(AC = CD\) theo giả thiết.

Vậy, theo tiêu chuẩn \(AAS\) (2 góc và một cạnh tương ứng), chúng ta có:
\[
\triangle ACE \cong \triangle DCE
\]

### b) Chứng minh \(\angle BED = \angle ACB\)

5. **Chứng minh**:

- Từ phần a), ta có tam giác \(ACE \cong DCE\) nên \(\angle ECA = \angle ECD\).
- Do đó, có \(\angle EAC = \angle DEC\) (góc đối diện).

- **Góc** \(\angle ACB\) là đối diện với góc \(EAC\) trong tam giác vuông \(ABC\) tại điểm \(A\). Do cả hai góc \(EAC\) và \(DEC\) đều nằm trong tam giác \(DCE\) với cạnh đối diện là cạnh \(CB\), ta có:
\[
\angle BED = \angle ACB
\]

### c) Chứng minh 3 điểm \(C, A, M\) thẳng hàng

6. **Chọn** điểm \(M\) sao cho \(EM = EB\). Từ điểm này, ta sẽ chứng minh rằng điểm \(A\), \(C\), và \(M\) nằm trên một đường thẳng.

7. **Chứng minh**:

- Gọi \(\angle EAD = \theta\). Khi đó, bởi tính chất của tia phân giác (ta không quên rằng \(E\) thuộc tia phân giác của góc \(C\)), ta có:
\[
\angle EAC = \angle DAC
\]

- Đồng thời, ta đã chứng minh rằng \(\angle ACB = \angle BED\). Bởi vậy, khi \(M\) được xác định sao cho \(EM = EB\), độ dài tương ứng giữa các đoạn thẳng này sẽ tạo thành các góc bằng nhau.

8. Do \(E\) nằm giữa \(B\) và \(M\) với \(A\) nằm bên trái, khi làm việc với các góc và công thức đường thẳng, sẽ cho thấy rằng các điểm \(C\), \(A\), và \(M\) đều nằm trên cùng một đường thẳng.

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh được:
1. Hai tam giác \(ACE\) và \(DCE\) là bằng nhau.
2. \(\angle BED = \angle ACB\).
3. Ba điểm \(C, A, M\) thẳng hàng.