Để phân tích đa thức \( x + x^2 + y + y^2x + x^2 + y + y^2 \), trước tiên ta sẽ kết hợp các hạng tử giống nhau lại với nhau.

1. **Kết hợp các hạng tử**:
\[
x + x^2 + y + y^2x + x^2 + y + y^2 = 2x^2 + 2y + y^2x + y^2 + x
\]
Hay viết lại:
\[
2x^2 + 2y + y^2x + y^2 + x
\]
Ta sắp xếp lại theo thứ tự:
\[
2x^2 + (1 + y^2)x + 2y + y^2
\]

2. **Phân tích thành các nhóm**:
Chúng ta có thể chia thành các nhóm như sau:
\[
x^2(2) + x(1 + y^2) + (2y + y^2)
\]

Khi nhìn vào cụm \(2y + y^2\), nó có thể được viết lại là \(y(2 + y)\).

3. **Cố gắng kết hợp lại**:
Ta có thể viết lại đa thức như sau:
\[
2x^2 + (1 + y^2)x + y(2 + y)
\]

Đa thức này không thể phân tích thành tích của các đa thức bậc thấp hơn. Tuy nhiên, có vẻ chúng ta có thể phân tích dựa trên các hạng tử.

4. **Nhờ vào các yếu tố**:
Rút ra từ các yếu tố, chúng ta có thể xem các hạng tử như sau:
- Hạng tử \(2x^2 + (1 + y^2)x\) có thể lấy \(x\) ra ngoài:
\[
= x(2x + 1 + y^2)
\]

Và phần còn lại là:
\[
y(2+y)
\]

Cuối cùng, đa thức có thể viết lại dưới dạng:
\[
(x(2x + 1 + y^2) + y(2 + y))
\]

Tuy nhiên, tùy thuộc vào yêu cầu của bài toán (ví dụ như cách nhóm hay dạng mong muốn) có thể sẽ có các cách tiếp cận khác nhau. Tổng kết lại, đa thức này đã được đơn giản hóa và phân tích như trên.