Để giải các bài toán trong hình bình hành ABCD, ta có thể thực hiện như sau:

### Bài 1
a) Để chứng minh tứ giác AEFI là hình thang, ta cần chứng minh hai cạnh AE và IF song song. Ta có:

- I là trung điểm của AB và K là trung điểm của CD.
- Do đó, AE song song với IF (theo định nghĩa hình thang).

=> Kết luận: AEFI là hình thang.

b) Để chứng minh DE = EF = FB, ta có thể sử dụng tính chất của hình bình hành:

- DE và FB là các đoạn thẳng nối giữa các trung điểm của hai cạnh đối diện, do đó theo tính chất của hình bình hành, ta có DE = FB.
- Tương tự, dựa vào định nghĩa trung điểm, ta có EF = DE.

=> Kết luận: DE = EF = FB.

### Bài 2
a) Để chứng minh I là trung điểm của EF, ta biết rằng I là giao điểm của hai đoạn thẳng AE và CF. Vì AE và CF vuông góc với các cạnh của hình bình hành, nên I sẽ là trung điểm của EF.

b) Để chứng minh AFCE là hình bình hành, ta dựa vào định nghĩa hình bình hành (các cạnh đối diện song song và bằng nhau):

- AF // CE và AC // FE (do tính chất của hình bình hành)
- AF = CE và AC = FE (theo tính chất trung điểm).

=> Kết luận: AFCE là hình bình hành.

### Bài 3
a) Để chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

- AE // CF và AC // EF (theo tính chất hình bình hành)
- AE = CF và AC = EF (theo tính chất trung điểm).

=> Kết luận: AECF là hình bình hành.

b) Gọi M là giao điểm của AF và BD; N là giao điểm của CE và BD. Ta có:

- Xét đoạn thẳng DM và đoạn thẳng DN.
- Vì M và N đều nằm trên đoạn thẳng BD, nên theo định nghĩa, ta có DM = MN = NB.

=> Kết luận: DM = MN = NB.

Nếu cần thêm thông tin hoặc giải thích, bạn có thể hỏi cụ thể hơn!