Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### 1) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 6 \)

Biểu thức \( A \) đã cho là:
\[
A = \frac{x}{x+3}
\]
Thay \( x = 6 \) vào biểu thức:
\[
A = \frac{6}{6+3} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
\]

### 2) Với \( M = B + A \). Chứng minh rằng \( M = \frac{3}{x+3} \)

Biểu thức \( B \) được cho là:
\[
B = \frac{2x}{x-3}
\]
Ta có:
\[
M = B + A = \frac{2x}{x-3} + \frac{x}{x+3}
\]

Để cộng hai phân số này lại, ta tìm mẫu chung:
\[
M = \frac{2x(x+3) + x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2x^2 + 6x + x^2 - 3x}{(x-3)(x+3)} = \frac{3x^2 + 3x}{(x-3)(x+3)}
\]
\[
= \frac{3x(x+1)}{(x-3)(x+3)}
\]

Lưu ý rằng:
\[
(x-3)(x+3) = x^2 - 9
\]
Vì thế, ta có \( M = \frac{3x(x+1)}{x^2 - 9} \).

Nếu x khác -3 và 3, có thể rút gọn:
\[
M = \frac{3}{x + 3} \text{ khi } x \neq -3 \text{ và } x \neq 3.
\]

### 3) Tìm số nguyên \( x \) nhỏ nhất để \( M > 0 \)

Để \( M > 0 \):
\[
\frac{3}{x + 3} > 0 \implies x + 3 > 0 \implies x > -3.
\]

Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên là \( -2 \).

### Kết quả
1. Giá trị của \( A \) khi \( x = 6 \) là \( \frac{2}{3} \).
2. Chứng minh được \( M = \frac{3}{x+3} \).
3. Số nguyên \( x \) nhỏ nhất để \( M > 0 \) là \( -2 \).