Chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

a) Giải phương trình \( x(2x + 1) - 4x^2 + 1 = 0 \):

Ta có:
\[
x(2x + 1) - 4x^2 + 1 = 2x^2 + x - 4x^2 + 1 = -2x^2 + x + 1 = 0
\]
Nhân cả phương trình với -1:
\[
2x^2 - x - 1 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm bậc hai \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) với \( a = 2, b = -1, c = -1 \):
\[
b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9
\]
Vậy:
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}
\]
Từ đó, ta có hai nghiệm:
\[
x_1 = \frac{4}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
\]

b) Giải phương trình \( 4x^2 - 4x + 1 = 0 \):

Đây là một phương trình bậc hai. Ta cũng dùng công thức nghiệm bậc hai với \( a = 4, b = -4, c = 1 \):
\[
b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0
\]
Vậy nghiệm duy nhất là:
\[
x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2}
\]

c) Giải phương trình \( x^3 - 16x = 0 \):

Ta có thể khai thác yếu tố chung:
\[
x(x^2 - 16) = 0
\]
Giải từng phần:
1. \( x = 0 \)
2. \( x^2 - 16 = 0 \) dẫn đến \( x^2 = 16 \) hay \( x = 4 \) và \( x = -4 \)

Vậy các nghiệm là:
\[
x = 0, 4, -4
\]

d) Giải phương trình \( (2x - 3)^2 = (x + 5)^2 \):

Ta khai phương trình:
\[
2x - 3 = x + 5 \quad \text{hoặc} \quad 2x - 3 = -(x + 5)
\]
Giải từng trường hợp:
1. \( 2x - 3 = x + 5 \)
\[
2x - x = 5 + 3 \Rightarrow x = 8
\]
2. \( 2x - 3 = -x - 5 \)
\[
2x + x = -5 + 3 \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}
\]

Vậy các nghiệm cuối cùng là:
\[
x = 8, \quad x = -\frac{2}{3}
\]

Tóm tắt nghiệm trong từng bài:
a) \( x = 1, -\frac{1}{2} \)
b) \( x = \frac{1}{2} \)
c) \( x = 0, 4, -4 \)
d) \( x = 8, -\frac{2}{3} \)