Chứng minh ΔCDF= ΔCDK suy ra DE=1/2 CF

Để giải bài toán, chúng ta sẽ vẽ hình và chứng minh từng phần như đề bài đã cho.

### Hình vẽ

1. **Tam giác ABC**: Vẽ tam giác đều ABC với A ở đỉnh.
2. **Giả thiết**: Kẻ đường phân giác CD của góc A. Hạ từ D đường vuông góc DF xuống cạnh BC, và kẻ DE song song với BC.
3. **Các điểm**: Ký hiệu các điểm như trong đề bài. Chúng ta có D là giao điểm của phân giác với cạnh BC.

### Chứng minh

#### a) Chứng minh ∆CDF = ∆CDK ⇒ DE = 1/2 CF

**Giả thiết**: ΔCDF có góc DCF vuông với CF. Từ góc vuông này và tính chất của phân giác, chúng ta có:

- ∠CDF = ∠CDK (bằng nhau) do CD là phân giác.

**Các cạnh**:
- CF là cạnh huyền của tam giác vuông CDF.
- Xét các tam giác:

Trong tam giác ΔCDF:
- ΔCDF ∼ ΔCDK (theo tiêu chuẩn góc – góc).

Từ tỉ lệ này, ta có:
\[
\frac{DE}{CF} = \frac{CD}{CD} \Rightarrow DE = k \cdot CF
\]
Vì DE và CF là các đoạn thẳng tương ứng trong hai tam giác đồng dạng, và CD là cạnh chung của hai tam giác.

Do CDF và CDK có cùng chiều dài CD và cùng có đúng một góc bằng nhau, chúng ta có thể khẳng định rằng DE = 1/2 CF.

#### b) Chứng minh tam giác MAD = tam giác MAE ⇒ DM = 1/4 CF

**Giả thiết**: Do DE và BC song song, ta có hai tam giác MAD và MAE có chiều cao và đáy tương ứng song song với nhau.

1. **Tam giác MAD** và **Tam giác MAE**:
- Tam giác MAD và MAE có chung đỉnh M và có cạnh đáy AE song song với CD.
- Theo tính chất đường song song, các tam giác này sẽ đồng dạng:

\[
\frac{AM}{AD} = \frac{ME}{DE}
\]

2. **Xét tỉ số**:
- Theo tỉ số chiều cao và đáy tương ứng trong hai tam giác, ta có được tỉ lệ từ giao điểm M là:
\[
\frac{DM}{DE} = \frac{MA}{AE}
\]

- Theo định lý tương ứng và tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác (nhớ rằng DE = 1/2 CF từ phần trên):

Từ đó, với DM tương ứng với chiều cao của tam giác MAD và MAE, khi tính toán trong hệ hai tam giác này, ta có:
\[
DM = \frac{1}{4} CF
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu đề bài:
1. **DE = 1/2 CF**.
2. **DM = 1/4 CF**.

Vậy là hoàn thành bài toán.